微分方程在用罗尔定理证明等式中的应用
作者:jkyxc
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摘 要:用罗尔定理证明等式的关键是构造辅助函数,构造辅助函数的一般方法是用导数倒推,此种方法难度较大,可以用微分方程直接求解辅助函数,更方便更有效。
关键词:中值定理;微分方程;辅助函数
微分中值定理最直接的应用是可以用来证明一些等式,而这类问题大多数情况下是以“至少存在一点使某等式成立”的形式出现。
在用微分中值定理证明等式时,该如何构造辅助函数,是高等数学中难以掌握的技巧,本文以罗尔定理为例,给出了一个在用中值定理证明等式时构造辅助函数的方法,即通过微分方程来构造辅助函数,从而为技巧性较强的辅助函数的构造,提供了一个一般性的新方法。
一、罗尔中值定理
由例1可见,用罗尔定理证明等式时,要构造辅助函数F(x),验证其在[a,b]上满足罗尔中值定理的三个条件,由证明F ′(ξ)=0,達到证明问题的目的。
至此,证明思路已经明确,但是该何构造辅助函数F(x)便成为解决问题的关键。在例1中是通过导数倒推,但是用导数倒推F(x)的难度比较大,解题者受自身水平所限,常常无法迅速正确的推出F(x),尤其是对高职学生来说难度更大。
用导数倒推构造辅助函数的过程,其实就是在做导数的逆运算,而导数的逆运算就是积分运算,而能将导数和积分结合应用的就是微分方程。由此,笔者找到了构造辅助函数的一般性方法,即用微分方程直接求出辅助函数F(x)。
二、结语
本文给出了在用中值定理证明等式时,可以用微分方程直接求解辅助函数,这种方法较之用导数倒推辅助函数,很多情况下会更直接更有效。
参考文献:
[1] Maurice Weir.托马斯微积分[M].北京:高等教育出版社,2003,8.
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