数学实验环境下的深度学习

汇报交流。

（学生分组展示后，归纳出画图大小规范的标准：长对正、高平齐、宽相等。）

师请尝试用自己的语言给主视图、左视图、俯视图以描述性的概念。

（兩位学生分别给出自己的概念描述。）

图4活动5：如图4，请尝试画出该物体的“三视图”，并将自己画图的结果与课本上的结果相比对，进一步体会如何才能规范画图，并把自己的想法与同伴交流。

在数学实验中，数学认知理解目标达成的质量，受深度学习问题反应块的支配：适度的问题有助于概念的理解与把握，正如适量变式练习是形成心智技能的重要途径。为了追求适合的问题反应块，需要做好三个层面的数学实验操作：一是提出问题，落实数学实验的概括功能;二是解决问题，搭建数学实验从感性思维上升到理性思维的台阶;三是元认知体验，落实概念的概念性理解，即概念发生的必要性和来龙去脉。

在“三视图”概念的形成与使用模块，就是突出感性思维到理性思维的过渡状态，有利于概念的认知理解以及过程性目标的实现。教学片段2中，活动4让学生先从三个方向看，再画出三个基本几何体的“三视图”。这是教学片段1中“配对”活动的认知升级，使“三视图”概念的感性特征愈发明显。画图后的交流反思意在让学生评价思维结果的科学性和规范性，进而具体理解“长对正、高平齐、宽相等”的实际意义。这是落实理性推理的支持条件，进而在由特殊到一般思想引领下，能顺利给出“三视图”的描述性概念。活动5让学生在画出复杂几何体“三视图”的基础上，分组评价画图结果，并且在与课本对照的过程中，进一步确定理性画图方法。如果说活动4含有感性思维的成分较多，那么活动5更多的是理性思维的载体，确认理性画图方法就是元认知体验的具体表现，落实了从感性到理性认知理解目标的有序实现，突出了数学实验深度学习的推理特征：经历推理、概括与反思，形成概念性理解的能力。

三、从经验到方法：数学实验深度学习的通用技术

心理学研究表明，专家之所以具有较强的迁移能力，原因之一就是他们具有解决某一问题的丰富的背景经验或认知结构。在数学实验评价学范畴，背景经验可以理解为一种客观的知识结构，方法体系可以理解为一种个体的认知结构，将知识结构转化为认知结构的过程就是从经验到方法的实现过程。在实践学范畴，数学实验是通过对实验现象和结果的分析、表征与应用，以及相应的“请用语言描述你的发现”“你怎么知道的？”“下一步，你还需要怎么做？”等带有元认知监控特征的活动，诱发深度学习发生的。这里的深度学习主要包括元认知层面的分析、反思与评价，有助于认知迁移的实现，是经验转化为方法的通用技术，更是对概念进行关系性理解，形成和发展模型力的不可替代的途径。

【教学片段3】

活动6：如图5，分别画出图中两个物体的主视图、左视图、俯视图。学生独立画图。

图5

师与活动5中的“三视图”结果相比较，有什么不同？产生这些不同的根本原因是什么？

（学生分组展示。）

活动7：如图6，该几何体由大小相同的小立方体搭成。

（1）请在方格纸中画出该几何体的主视图、左视图、俯视图。

（2）现在你手头还有一些相同的小立方体，如果保持俯视图和左视图不变，那么在这个几何体上最多可以再添加几个小立方体？为什么？说说你的想法。

图6图7

活动8：小结反思。

（1）举例说明，经历本节课的学习，你获得了什么？

（2）举例说明，你知道了什么？

（3）你对图形世界有了哪些新认识？

活动9：图7是一个由长方体和圆柱组合而成的几何体。已知长方体的底面是正方形，其边长与圆柱底面圆的直径相等，其高也与圆柱的高相等。

（1）画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图;

（2）若圆柱底面圆的直径为a，高为b。现将该几何体露在外面的部分喷上油漆，求需要喷漆部分的面积。

进一步而言，在数学实验环境下，深度学习表现为三个思维层面：

第一是应用意识。也就是有意识地利用数学概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。如，从“从三个方向看”到“三视图”概念的抽象，就是应用意识的第一个层面。此外，还包括认识到现实世界中蕴含着大量与数量有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法加以解决。在整个数学实验过程中，应该注意培养学生的数学应用意识。活动7第（2）问的解决，需要思维在几何体与“三视图”之间不停往返，这是应用概念的行为，带有逆向思考的特征，实现了将数学实验的活动经验上升到数学方法体系层面，落实了概念的关系性理解，驱动了数学实验的概念经验转化为概念方法的内部支持。

第二是發展区意识。就是使学生思维知觉水平与问题思维水平一致，经历问题解决能将学生的事实发展水平上升到现有发展区水平，从而有助于从经验到方法目标的有序实现。当然，任何实验经验的层级最终都需要结果性实验目标的达成，这就要求学生掌握和运用概念。一般情况下，掌握是在理解的基础上，把对象用于新的情境;运用是综合使用已经掌握的对象，选择和创造适当的方法解决问题。前者是概念使用层，后者是概念解释层。无论概念的掌握还是运用，都与概念的关系性理解具有内部关系一致性。比如，活动6就直接指向掌握概念的结果形态。与活动5画图结果的比对（教师的追问），意在让概念的结果形态在“同与不同”及“同与不同背后原因的思索”中愈发丰满，为概念使用层级提供足够的理解基础。而活动7第（2）问的解决过程中，互逆思维的使用，正是概念使用与概念解释两个不同层面往复的过程。这个问题触及学生的问题解决能力，是对结构概念的一种最好解释。好的数学实验总是在引导学生进行数学思考的同时，关注培养学生的问题解决能力——这才是最好的数学实验教学，也是有质量的深度学习的外在表现。

第三是元认知意识。一般情况下，它是对认知活动的认知，是对概念意义的解释与拓展。《课标（2011版）》明确指出，数学知识教学要把每一堂课教学的知识置于整体的知识体系中，注重知识之间的结构和体系，处理好局部与整体的关系，引导学生感受数学的整体性，体会某些知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。为此，基于深度学习，执教者建构了包括提出问题、合作探究、讨论反思、认知回流、应用解释等实验模型，有助于学生在实验过程中，将整体思维纳入自己的认知结构，实现对知识的系统把握，达成“知其然，知其所以然”的目标。在活动8这一结课环节，执教者就是基于“从经验到方法”，让学生在反思评价中，获得基本方法（基本套路），及时将数学实验外在的操作行为转化为概念解释力，实现深度学习，培养模型意识。比如，小结中的“举例说明”本身带有元认知意识，有助于学生形成上下贯通、左右衔接的知识体系，是将实验经验上升到实验方法的通用技术。另外，活动9的问题设置是由“三视图”回归代数思维的表现形式，而代数思维本身就是一种模型，也是一种元认知意识，即“画图—模型—解释”，这有助于概念认知结构的迁移与变式，有助于元认知目标的实现。

*本文系江苏省中小学教学研究第十二期重点资助课题“基于‘深度教学’视角的数学实验常态化实施实践研究”（编号：2017JK12ZA11）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 康淑敏.基于学科素养培育的深度学习研究[J].教育研究，2016（7）.

[2] 马复.试论数学理解的两种类型——从R.斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001（3）.

[3] 张安军.分类思想在人教版初中数学教材中的作用及其教学启示[J].中学数学，2018（8）.

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