微积分思想及其在实际问题中的应用

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【摘要】微积分思想的产生、发展都是与实际问题紧密相连的。微积分学不仅是近代数学的基础，它的创立也极大地推动了天文学、物理学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学的发展。本文对微积分思想产生的背景以及微积分在解决实际问题中主要的思想：极限思想、化归思想、数形结合思想和建模思想做了简要介绍，并结合几何、物理、经济问题中的部分实例进行了讨论。

【关键词】微积分思想 几何问题 物理问题 经济问题

1微积分思想产生的背景

微积分是微分和积分的统称，它的产生、发展都是与实际问题紧密相连的。早在古代微积分思想就已萌芽。公元前七世纪我国庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

在西方公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，也隐含着近代积分学的思想。

到了十七世纪，随着社会生产力的空前发展，航海、工商业、工程建筑设计都发达起来，研究物体的运动和变化成了日益迫切的课题，力学在各门学科中首先兴盛，但它的进步必须依靠数学，各种实际问题（包括古老的天文学问题以及历史悠久的面积、体积测算）都要求数学引入新的概念，提出更有效的算法。微积分正是在这样的背景下产生和发展起来的。许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为此作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿从物理学角度研究微积分，创立了“流数术”理论，这实际上就是微积分理论。而德国数学家莱布尼茨在研究曲线的切线和曲线包围的面积中提出微积分概念，得出微积分具体运算法则，揭示出微积分的实质。

微积分学的创立，开创了科学发展的新纪元，它极大地推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用。

2微积分在解决问题中的主要思想

2.1 极限思想

极限思想是微积分的核心思想，它是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想主要解决两类问题，即变化率问题（微分问题）和积累问题（积分问题）。解决变化率问题时，采用先考察在某个点附近的小范围内，近似的以“不变代变”、“以静代动”，求得平均变化率。该平均变化率近似等于该点处的瞬时变化率。再将小范围无限缩小而趋向于零，促使“近似”转化为“精确”，从而求得函数在指定点处的变化率。

解决积分问题时，先将整体化为有限个微小的局部，在每个局部“以直代曲”、“以不变代变”，再积零为整求和式，得到整体的近似值，最后，再使每一局部无限变小，通过求和式极限，促使“近似”转化为“精确”，从而得到积累问题的准确值。

2.2 化归思想

化归思想是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到某个（或某些）己经解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求得原问题的解答的思想，其核心就是简化与转化。

化归思想有三要素：化归对象（要化什么），化归目标（化成什么形式），化归途径（怎么化）。一般常用的转化方式是：陌生问题熟悉化；复杂问题简单化；抽象问题形象化。

2.3数形结合思想

数形结合思想就是把“数”与“形"建立联系，把“数”的问题转化为“形"特性去观察分析，而“形"的问题转化为“数"来研究思考，以寻求解决方案。数形结合是沟通数与形内在联系的有效途径，或是由数构形、以形促数；或是由形思数，以数论形。华罗庚先生曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微"。数形结合是数学学习研究中的一种重要的思想方法。

2.4数学模型思想

数学模型就是用数学语言和方法对各种实际对象做出抽象或模仿而形成的一种数学结构。数学建模是指对现实世界中原型进行具体构造数学模型，是问题解决的一个重要方面和类型，将考察的实际问题转化为数学问题，构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解答的过程。

在高职的微积分教学中有不少涉及到数学建模的实际问题如运用导数理论求最值类模型，特别是经济学里的最大利润模型，仓储模型；运用微分方程来求解的“人口模型”等等。通过这些数学模型的介绍和学习，可以提高学生分析、解决问题和应用数学的能力。

3微积分思想在实际问题中的运用

3.1几何问题

几何学中如曲线切线的斜率问题、曲率问题、不规则图形面积和旋转体体积问题等等都要运用到极限、化归的思想来解决。

实例1 （曲边梯形面积）设函数 在 上非负，连续，求由直线x = a， x = b， y = 0 及曲线 所围成的图形的面积。

求解过程可分为四步：

步骤1分割（整体化为局部） 在区间 [a，b] 中任意插入若干个分点

，把[a，b]分成n个小区间

[ ]，[ ]， … [ ]，

区间长度为： ，同时经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯。

步骤2 取近似（以“直”代“曲”） 在每个小区间[ ]上任取一点 ，以[ ]为底， 为高作小矩形，用小矩形面积近似替代第 个小曲边梯形的 即

步骤3 求和（积“零”为“整”）把n个小矩形面积之和作为曲边梯形面积A的近似值，即

步骤4 取极限 当小区间长度的最大值 时，上述小矩形面积和式的极限就是曲边梯形面积A的精确值，即

实例2 热力发电厂的蒸汽冷却塔的形状实际就是由双曲线的一支的部分绕虚轴旋转一周所得。建立直角坐标系（如下图），设已知双曲线的方程为 ，且塔顶到 轴的高度为 ，塔到 轴的高度 ，试求该冷却塔内部的体积。（保留一位小数）

分析 ：求旋转体的体积可运用微元法。即为求出某一时刻的量，在局部“以匀代非匀”求得这个量的近似值，然后计算微元在积分区间的积分从而得到整体量。

求解过程： 观察图像可知，该旋转体是由双曲线的右半支 与直线 、 和y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得。

选y为积分变量，积分区间为 ，在 上任取小区间 ，可得体积微元为

则所求旋转体的体积为

3.2物理问题

物理学中涉及变化率的问题和积累的问题都能运用化归思想把这些问题转化为数学问题，从而用导数或定积分来解决。

实例3 已知某物体做自由落体运动时，在时刻 时下落的高度为 ，求 s时，物体下落的速度和加速度（其中 ）。

求解过程：因为函数 的一阶导数和二阶导数分别为

， ，

所以，当t=10s时，物体下落的速度为

加速度为

实例4 已知对某种弹簧施加 的，弹簧就伸长 ，如果要把弹簧从原长位置拉长 ，请问需要作多少功？

求解过程：由虎克定律可知，弹力F与伸长量x之间的函数关系为 ，（k为弹性系数）。已知 时， ，代入 ，得弹性系数K=980，所以 。

取伸长量x为积分变量，则积分区间为 ，在 上任取小区间 ，可得功的微元为

则把弹簧从原长位置拉长0.1m时变力需作的功为

3.3 经济问题

微积分思想方法在经济学中有着非常重要的应用。如导数的概念产生后，就有了经济学中的边际分析和弹性分析。而反之在已知边际函数或弹性函数，要求成本函数、需求函数、利润或收益函数等经济量时，又可利用定积分或不定积分来解决。

实例5 设某加工厂生产某种产品的每日总成本函数和每日总收入函数分别为 ， 其中 为日产量（千克），求（1）边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润，并说明其经济意义；（2）求最大利润时的日产量。

求解过程：（1）总利润函数 ，

边际利润函数为

日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是

， ，

其经济意义是：在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可增加1元；在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在日产量为300千克的基础上，再增加1千克产量，将亏损1元。

（2）令边际利润函数 ，得 。

又 ，所以当产量为250千克时，利润最大。

实例6 已知生产某中产品x单位（百件）的固定成本为1万元，边际成本和边际收入分别为

（1）求产量由2百件增加到4百件时，总成本增加了多少？

（2）求总成本函数；

（3）在利润最大时产量的基础上，再生产2百件，利润变化了多少？

求解过程：（1）产量由2百件增加到4百件时，总成本的增加量为

（2）因为固定成本为1万元，即 ，

即总成本函数为

（3）设利润函数为 ，当边际收益=边际成本时，利润最大.即 ，于是有

当 时，利润最大.

在利润最大时产量的基础上，再生产2百件，这时利润的改变量为

即产量由3百件增加到5百件时，利润将减少 万元。

微积分思想方法在实际问题的解决中有着广泛的运用。教师在日常的教学中要注重这些思想方法的渗透，这对于培养应用型人才的高职数学教育来说有着重要的意义。

参考文献：

[1]马国良.微积分发展浅议[J].云南财经学院学报，2000.

[2]李万军.微积分思想及其认识[J].周口师范学院学报，2008.

[3]徐树道.数学方法论[M].桂林：广西师范大学出版社，2001.

[4]于艳红.数学思想方法及其在微积分教学中的运用研究 [D].沈阳：辽宁师范大学，2010.

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