常用积分公式

　常用积分公式表·例题和点评

　⑴ d k x kx c  

　( k 为常数) ⑵ 11d ( 1)1x x x c      特别， 21 1dx cx x  ,

　322d3x x x c  ,

　 1d 2 x x cx  ⑶ 1d ln| | x x cx  ⑷ dlnxxaa x ca ,

　 特别， e d ex xx c   ⑸ sin d cos x x x c    ⑹ cos d sin x x x c   ⑺ 221d csc d cotsinx x x x cx    ⑻ 221d sec d tancosx x x x cx    ⑼ 2 21d arcsin ( 0)xx c aaa x  ,特别，21d arcsin1x x cx  ⑽ 2 21 1d arctan ( 0)xx c aa x a a   ,特别，21d arctan1x x cx  

　⑾ 2 21 1d ln ( 0)2a xx c aa x a a x     或 2 21 1d ln ( 0)2x ax c ax a a x a     ⑿ tan d ln cos x x x c    ⒀ cot d ln sin x x x c   ⒁ ln csc cot1csc d dln tan sin2x x cx x xxc x     

　 ⒂ ln sec tan1sec d dπln tan cos2 4x x cx x xxc x          ⒃ ( 0)2 22 21d ===lnax x x a cx a  

　⒄ 2( 0)2 2 2 2d === arcsin2 2aa x xa x x a x ca    ⒅ 2( 0)2 2 2 2 2 2d === ln2 2ax ax a x x a x x a c      ⒆2 22 2sin cose sin d esin cose cos d eax axax axa bx b bxbx x ca bb bx a bxbx x ca b     ⒇12 2 2 2 2 1 21 2 3d( ) 2( 1) ( ) 2( 1)n nn nx nx ca x n a a x n a         （递推公式）

　跟我做练习

　(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)

　例 24

　含根式  2ax bx c 的积分 ⑴ 2 24 5d ( 2) 1d( 2) x x x x x       [套用公式⒅] 2 22 1( 2) 1 ln ( 2) ( 2) 12 2xx x x       

　⑵  2 214 5d (2 4) 4 4 5d2x x x x x x x x         2 2 214 5d( 4 5) 2 4 5d2x x x x x x x           (请你写出答案) ⑶ 2 21 1d d( 2)4 5 ( 2) 1x xx x x     2ln 2 ( 2) 1 x x       [套用公式⒃] ⑷2 21 (2 4) 4d d24 5 4 5x xx xx x x x     22 21 d( 4 5) 12 d24 5 4 5x xxx x x x        (请你写出答案) ⑸2 2 25 4 d 3 ( 2) d( 2) x x x x x       22 23 2 2arcsin 3 ( 2)2 3 2x xx    

　[套用公式⒄] ⑹  2 215 4 d (4 2 ) 4 5 4 d2x x x x x x x x         

　— 欢迎下载 132 2 2 215 4 d(5 4 ) 2 5 4 d2x x x x x x x            (请你写出答案) ⑺2 2 2d d( 2)5 4 3 ( 2)x xx x x     2arcsin3x[套用公式⑼]

　⑻ 2 2(4 2 ) 4 dd 125 4 5 4x xx xx x x x     22 21 d(5 4 ) d225 4 5 4x x xx x x x        (请你写出答案)

　例 25

　求原函数41d1xx  . 解

　因为 ) 2 1 )( 2 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 2 1 ( 12 2 2 2 2 2 4 2 4x x x x x x x x x x             

　所以令 42 211 2 1 2 1Ax B Cx Dx x x x x      为待定常数）

　D C B A , , , (   2 22 2( )( 2 1) ( )( 2 1)2 1 2 1Ax B x x Cx D x xx x x x          从恒等式 1 ) 1 2 )( ( ) 1 2 )( (2 2        x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组          （三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项00 2 20 2 2) ( 1C AD C B AD C B AD B 解这个方程组(在草纸上做)，得21,2 21,21,2 21     D C B A . . 因此， 41d1xx  2 21 1 1 12 2 2 2 2 2d d2 1 2 1x xx xx x x x         右端的第一个积分为 2 2 2 21 11 (2 2) 2 1 (2 2)d 1 1 22 2d d d4 2 1 4 2 2 1 4 2 2 1 2 1xx x xx x xx x x x x x x x               

　22221 d( 2 1) 1 1d4 4 2 2 12 12 2x xxx xx           (套用积分公式) 21 1ln( 2 1) arctan( 2 1)4 2 2 2x x x     

　类似地，右端的第二个积分为 221 11 1 22 2d ln( 2 1) arctan( 2 1)2 1 4 2 2 2xx x x xx x         所以 41d1xx  221 2 1 1 1ln arctan( 2 1) arctan( 2 1)4 2 2 1 2 2 2 2x xx xx x       22 21 2 1 1 2ln arctan1 4 2 2 1 2 2x x xx x x    （见下注）

　【注】根据tan tantan( )1 tan tan     ,则

　2 2( 2 1) ( 2 1) 2 2 2tan arctan( 2 1) arctan( 2 1)2(1 ) 1 1 ( 2 1)( 2 1)x x x xx xx x x x              因此, 22arctan( 2 1) arctan( 2 1) arctan1xx xx    例 26

　求d(0 1)1 cosxx .

　 【 关于d(0 1)1 cosxx ，见例 17 】

　解

　令 tan2xt  (半角替换)，则 2 2 22 22 2cos cos sin 2cos 1 1 12 2 2sec 1 tan2 2x x xxx x       2211tt 22d d(2arctan ) d1x t tt  于是， 2 2 22d 1 2 dd 21 1 cos 1 (1 ) (1 )11x ttt x t tt          22 d111tt 22 1arctan11t c 2 22 1arctan tan21 1xc    【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数 ( ) y y x  的导数或微分可以用一个“构造性”的公式

　— 欢迎下载 134 0( ) ( )( ) limhy x h y xy xh  

　或 d ( )d y y x x  

　确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如 2 1 e sine d , d , d , dlnxxxx x x xx x x   等 都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.

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