证明不等式的十种非常规策略

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合。它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，故学生普遍感到不等式难证、辅导老师也感到难讲，这是因为常见和常用的方法常常派不上用场，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起交流，本文试图就不等式证明中的十种非常规策略，做出比较综合的归纳。为读者进一步证明某些不等式提供有效的方法和发现新的数学命题开拓有益的思考途径。

一、构造模型

构造法是在各类竞赛中证明不等式的常用方法。证明不等式时，根据题目的特点巧妙构造函数、方程、复数等。有些不等式可和函数、数列、复数建立直接联系，通过构造相关模型，利用有关性质完成不等式的证明，使不等式获得简捷的证明。

（1）构造函数

显然|AB|≤d,即要证明的不等式成立（当AB⊥l时，等号成立）。

除此之外，利用构造法来证明不等式，还可以采用构造方程，构造几何图形，构造三角函数等方法来证明。构造法是证明不等式的重要方法。

二、优化假设

当题目中变元之间的关系具有多种可能性，且各种可能性具有同等地位或都能用相同的方法去解决时，我们可以借助优化假设来简化解题过程，寻求解题思路。

三、局部固定

一个不等式往往涉及几个变量，在证明时可将其中的一个（或几个）量加以固定，以有助于问题简化，最终解决问题。

四、借助直观

有些不等式若单纯从“数”的角度去分析证明，则非常繁难，但若数中思形，挖掘出问题蕴含的几何背景，则可借助直观，得到简捷明快的证法。

五、动中求静

证明某些不等式说，可运用矛盾转化的观点，视动态为静态，把某些变量看作常量，以达到证题的目的。

例7．（第15届全俄中学生竞赛题）已知a，b，c∈(0，1)，求证：a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)＜1。

证：将不等式变形为：（1-a-b）a+(1-c)(b-1)＜0。

把b,c视为变量a的字母常数。令f(a)=(1-b-c)a+(1-c)(b-1)。

由a∈(0,1),只需证明f(0)＜0,f(1)＜0即可。依条件，f(0)=(1-c)(b-1)＜0,

f(1)=-bc＜0,故所证不等式成立。

六、强化命题

有些不等式若采用强化命题法，即证明一个比原命题强的命题，常能居高临下、出奇制胜。

只要证出命题（1），就可轻松证得原命题成立。

当n=1时，(1)式显然成立。

七、特殊探路

对于具有一般性的不等式，若一时难以发现证明思路，常可以从一些简单的特殊情况分析入手，从中获得有益的启示，发现证明的关键，从而打开证题思路，获得证明一般性不等式的方法。

例9 设a,b,c都是正数，求证：an+bn+cn≥apbqcr+arbpcq+aqbrcp，其中n∈N，p，q，r都是非负整数，且p+q+r=n。

三式相加得：

an+bn+cn≥apbqcr+arbpcq+aqbrcp

八、灵活替换

有些不等式的结构比较复杂、陌生，直接证明显得困难，但若能将不等式中的一些数量用另一些数量来替换，就可转化为简单，熟悉的不等式，从中找出证题的思路

九、化整为零

有些不等式，从整体上考虑难以奏效，但如果将待证不等式分解为若干结构相同的不等式，逐一证明后，经过合成运算（相加或相乘）便可得到所要证的不等式。

例11(第17届全俄中学生数学竞赛题)设a，b，c>0，且a+b+c=1，求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）。

以上三式相乘即得：

（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）。

十、引入参数

有些不等式证明，可以巧妙地引入参数，构造一个参数不等式，使该参数在不等式证明过程中起到桥梁作用。

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