小学数学教材空间的设计原则和策略

【摘 要】数学教材空间可以看作是由显性的知识性成分和隐性的观念性成分构成的，其中，观念性成分以某种特殊的形式凝聚在具体的数学知识中。设计小学数学教材空间要坚持学科性、发展性、适度性、差异性等原则，还应注意还原知识形成过程，提升学生的数学理解水平；训练数学思维要素，培养学生的数学能力；渗透数学思想方法，发展学生的数学素养；挖掘教学内容中的情感、态度和价值观，丰富学生的学科感受。

【关键词】小学数学 教材空间 数学文化 教学价值取向

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将感悟数学基本思想方法、积累数学基本活动经验明确纳入了课程目标，并与数学基础知识、数学基本技能共同构成数学课程目标的核心和主干。为了落实“四基”目标，在编写教材时，不仅要展示以间接知识为主体的科学知识，也应注重通过改变呈现方式以使学生从中汲取数学观念成分。教材例题以及练习的编排与知识技能目标之间的联系是显而易见的，但怎样体现数学内容与其他方面目标之间的关系，永远是教师一个人在作决定。鉴于此，笔者对小学数学教材空间的相关问题作了一些思考。

一、数学教材空间概念的界定

空间，是指具体事物的组成部分。教材空间，顾名思义，就是教材的内在结构及其组成部分。按照不同的划分标准，教材空间有不同的表征形式。教材内的知识一般以两种形态存在：一是显性的、静态的结果性知识，如数学概念、定义与公式、数学方法、数学语言、数学问题等；二是隐藏在知识背后的数学思想方法、数学思维方式、数学理性精神以及关于知识产生和形成时艰难的探索历程等数学背景知识等，这些隐性的数学背景知识总是以某种特殊的形式凝聚、投射到具体的数学知识之中，并和显性的数学知识共同构成教材的组成部分，成为数学学习活动的终极追求。这两个方面的各种因素相互联系、相互渗透、相互作用。本文中的“教材空间”主要指向学习活动的价值取向层面，即教材内在的文化空间。

二、小学数学教材空间设计的原则

1.学科性原则。

每一节课的教材空间都应该是教师在对学科本质和教学核心准确把握的基础上的精心谋划。“数学学习固然存在与其他学科学习共通的成分，但它又体现着自身鲜明的独特个性。尤其是，数学学习不是‘数学内容’与‘学习行为’的简单相加与拼接，数学教学需要展开数学内容、方法的内涵及其形成过程；数学教学需要准确把握数学思维的特点、构成及其发展的路径与方向；数学教学更要准确阐释数学文化的内涵，从而真正发挥数学的内容、过程、方法与精神对儿童数学学习与发展的价值，实现数学学科内在的教育功能。”[1]

2.发展性原则。

数学教学最终应实现儿童充分、自由而完整的生命成长。“在狭隘的学科观念背景下，过分地局限于本学科知识与内容，不仅会禁锢教师自身思想的自由驰骋，也不利于我们培养视野开阔、才思敏捷、具有雄浑浩博的哲学气质的人才。”[2]数学教材空间不仅要包含数学内容，还应该包含着一定的“超学科性”，这种“超学科性”是基于学科教学而又超越于文本之上的，比如思维要素、学科感受、价值观念等。服从于儿童全面发展的教材空间应是显性的知识、技能、方法和隐性的思想、精神、价值观念的圆融统一。

3.适度性原则。

教材蕴含着丰富的教育价值，教材空间的设计必须指向教育的终极目标——“人”的全面发展。为了从整体上保持课堂教学的生态平衡，教师对一节课的教材空间应有所取舍，坚持教学有所为，有所不为，或以后再为。另外，对教材空间各方面的要求也要适度。数学知识的学习是数学教学的“根”，舍弃基本知识的教学，刻意追求观念性成分，教学就容易出现本末倒置的问题。对于隐性的观念性成分，教师要精心设计教学情境，优化教学过程，不着痕迹、恰到好处地引导学生在学习数学、理解数学的过程中逐步感悟。

4.差异性原则。

教材空间设计，不仅受教材内容自身内在的文化元素的影响，也受教师个体对教材内涵的把握、教学价值的取向等因素的影响。同样的教材内容，不同的教学理解，不同的思考视角，就可能会形成不同的教材空间设计。我认为，对同一节课教材空间的设计，不存在“标准答案”，只要秉承一切为了学生的发展的理念，就无所谓优劣和对错。

三、小学数学教材空间的设计策略

一节内涵丰厚的数学课源自两个方面的努力：一是深入研读教材，对“教什么”作出深远的谋划；二是深入研究学生，对“怎样教”作出精致的规划。这两个方面都重要，但首先起决定作用的是“教什么”，即教材空间的设计。从保证课程目标的全面实现出发，在设计小学数学教材空间时要做到以下几个方面：

1.还原知识形成过程，提升学生的数学理解水平。

数学理解是指对所学内容本质的理解，即为什么学习这个内容、所学内容的核心概念是什么、所学内容与相关知识之间有什么联系。学生经历不同的“学习过程”使得他们的数学理解处于不同的水平。研究表明，学生对知识的理解水平按从低到高可以划分为事实性水平、概念性水平、方法性水平、主体性水平，对应这四种理解水平需要的“认知过程”分别是模仿与辨别、归纳与抽象、综合与应用、猜想与创造。达到高水平的理解可能要经历前一水平的“过程”，但更主要的是本水平所必然经历的“过程”。[3]例如，学生达到“概念性水平”可能通过“模仿与辨别”，但更根本的是“归纳与抽象”。基础知识扎实应该建立在学生对知识的高水平理解上。

比如，教学苏教版五年级下册《用数对确定位置》一课，当学生意识到用第几列第几行的方法表示物体的位置虽然比较准确，但记录繁琐和不便时，教师组织学生想办法对原有记录进行改进和优化，学生在交流中出现了“3行4列”“34”“3-4”等不同的表达形式。在教师的引导和点拨下，学生的“创造”逐步逼近数对的简约、凝练的特质。可以想见，学生在探索的过程中，不仅能感受“规定”的合理性、发展数学思考、感悟理性精神，而且也会对数学的“简洁美”和“符号化思想”形成有意义的认识。朴素的内容能承载如此丰厚的文化内涵，源于对教材空间的深度挖掘。

2.训练数学思维要素，培养学生的数学能力。

数学的文化价值的一个重要表现是具有思维训练功能。数学的思维训练功能体现在：数学能培养学生良好的思维品质。“数学是思维的体操”，如何使学生的思维更广阔、更深刻、更敏捷、更富有创造性和批判性，数学负有义不容辞的责任。数学能使学生学会数学地思考。每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外。在给予知识、方法的同时，数学更大的价值在于提供了一种不同于日常思维的新的思维方式（比较、类比、抽象、概括、猜想、验证等），“它为学生正确认识客观世界提供了新的工具和视角，驱使学生在理解问题时采用数学的眼光，运用数学思想方法，将数学的理性精神渗透在意识之中。”[4]因此，在教材空间设计的过程中，教师应结合教学内容特点，通过设计“有过程”的教学，让学生在建构新知的活动中发展数学思维，学会数学地思考。

3.渗透数学思想方法，发展学生的数学素养。

数学思想方法是联系数学知识的纽带，也是整个数学知识系统的生命和灵魂，是数学知识赖以转化为认识世界、改造世界的能量的桥梁。数学思想方法一般潜伏于数学知识、技能的学习过程中。教师在研究教材时，应充分挖掘教学内容中隐含的数学思想方法，抓准其与显性知识的结合点，通过潜移默化的方式使数学思想方法悄然扎根于学生的头脑中，并逐步成长为一种意识、观念和素质。

还以《用数对确定位置》这节课为例。把在具体情境下描述位置提升为用抽象的数对确定位置，不仅能培养学生的空间观念，也会为他们以后认识平面直角坐标系奠定基础。后者可以从以下两方面得以验证：从数对的表达方式看，为什么先记“列”再记“行”？记“列”为什么从左往右数？记“行”为什么从下往上数？这主要是与平面直角坐标系的规定相一致；从教材的呈现看，由“教室里小军坐在哪里”的生活事例，抽象为“符号化的图”（用圆圈表示具体的人，相当于格块），再上升到“数学化的图”（例2，把具体建筑物记作点，接近于坐标描述），能看出编者的匠心，即将“座位”平面图抽象为比较形象的“直角坐标系”，建立“数对”与平面上“点”之间的一一对应关系。在设计教材空间时，教师要以理解数对含义为载体，通过数形结合的方式，引导学生初步感悟“直角坐标系”思想。

4.挖掘教学内容中的情感、态度和价值观，丰富学生的学科感受。

数学对于情感、态度、价值观同样具有独特的“教化”功能。数学可以给予个体的情感、态度、价值观是立体的、多元的。比如借助于数学内容中的“真”，培育学生一种精神——对“公理化思想”信奉的理性精神和以好奇心为基础、对理性不懈追求的数学探究精神；比如借助于数学内容中的“善”，培养学生一种性格——善于独立思考、不怕失败、勇于坚持以及数学探索过程中的务实与严谨、理智与自律、开拓与超越等；比如借助于数学内容中的“美”，孕育一份学科情怀——体验数学的逻辑力量、严谨之美，享受由智力满足带来的快乐。这些共同丰富起数学教材空间，促使数学以文化的姿态展现于课堂。

【注释】

[1]江苏小学数学教学流派研究课题组.从儿童的数学学习与发展出发——以教材为载体的江苏小学数学教学流派研究[J].江苏教育，2010（7-8）：107.

[2]肖川.教育的理想与信念[M].长沙：岳麓书社，2002：133.

[3]刘加霞.小学数学课堂的有效教学[M].北京：北京师范大学出版社，2008：145-146.

[4]张维忠.数学教育中的数学文化[M].上海：上海教育出版社，2011：28.

（作者单位：江苏省邳州市教育局教研室）

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