灵活运用数学模型,归类巧解应用题

摘要：按数学应用意识和能力层次的高低，数学应用题大致可以分为四种类型。对于每种不同的类型，其建模能力的要求也不同。若能掌握每种类型的应用题的建模方法，则可以大大提高解应用题的效率，从而达到培养学生的应用意识的教学目的。可以说，数学建模是数学应用题的最高层次。

关键词：数学应用题；应用意识；数学建模；数学模型；分类

中图分类号：G623.5 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2010）12-0166-02

高中数学新课程标准强调要培养学生的应用意识。从近几年的高考题来看，也出现了许多旨在考查学生运用所学知识、分析和解决问题能力的数学建模方面的应用题，这说明数学应用题的教学愈来愈被教育界所重视。

华罗庚先生说：“宇宙之大，粒子之微，……，无不用数学。”数学来源于现实，现实世界中无处不用到数学。可以说数学应用题教学即是数学教育的心脏，因为它不但是检验学生掌握数学知识和技能的基本手段，而且也是培养学生应用意识的有效途径。学数学必然要解答各种各样的数学问题，数学建模是解答数学应用题的核心和关键，数学建模是数学应用题的最高层次。数学应用题具有丰富有社会信息、多视角的横向联系和多层次的能力要求，所以在利用数学模型解应用题时，老师应引导学生对纷繁复杂的各种应用题进行总结归类，以帮助学生理清头绪，掌握方法，提高解题效率。

按数学应用意识和能力层次的不同，数学应用题大致可以分为以下四种类型：

1 直接套用现成的公式

从广义上来讲，一切数学概念、公式、定理、方程式和算法系统等都是数学模型。在教学中，一些简单的应用题可以直接套用现成的公式，无需学生考虑实际问题的数学化过程，即建模过程。例如利用正弦定理可计算出建筑物的高度，给出储蓄本利和公式可以计算本利和等问题。这种类型的应用题是最低层次的数学应用题，其目的是让学生初步形成数学应用意识。在这种类型的应用题中，学生一般体会不出到数学建模的过程。

[例题1] 1980年我国人均收入225美元，若到2000年，人民生活水平达到小康水平，即人均收入为817美元，则平均年增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2010年人均收入至少多少美元？（复利公式：）。

分析：直接套用复利公式就可以求出增长率。

略解：设年平均增长率为x，则

解得:x=0.060

又设2010年人均收入为y美元，则

解得：y=1464(美元)

2 利用现成的数学模型对应用问题进行定量分析

根据问题中的信息与已掌握的知识相联系起来，对问题进行定量分析，利用现成的、已知的数学模型将应用问题数学化。这种类型的应用题是在类型1的基础上的提高，是学生应用能力进一步提高的目标。当学生掌握了一定的数学基础知识，并具备了初步的数学应用意识之后，就可以解答这种类型的应用题了。中学数学里，方程或函数模型、函数最值模型、不等式模型、数列模型、几何模型等都是现成的、为学生所熟知的数学模型。

[例题2] 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获取最大利润，对甲、乙两种商品资金投入应分别为多少？能获得多大的利润？

分析：这是一道函数最值模型的数学应用题，仔细分析题意，搜集问题中的信息，明确各数量之间的关系，联系相应的数学知识，利用函数最值模型，可完成问题的解答。

简解：若设对甲种商品投资 万元，则乙种商品的投资为3-x万元。设所得的总利润为x万元，则可得

问题转化为求该函数的最大值。

又设3-x=t,则x=3-t2，且t∈[0,3]

所以

3 寻求主要因素数量关系，建立数学模型求解

所给出的应用问题是实际生活中熟知的问题，具有复杂性和真实性，解答时，必须对主次因素作出分析、判断，寻求主要因素之间的数量关系，建立符合实际情况的数学模型。这种类型的应用题，要求学生具备一定的数学应用意识和初步的数学应用能力，是更进一层的应用题型。在这种类型的应用题中，对数学建模能力的要求尤为突出。

[例题3]在一段可以看作直线的河边BC的北面的一个采矿场A，它到河岸的距离AB为15千米，河边BC距离为45千米，现须将矿石从A运往C处。已知陆路每千米运费是河中航运每千米运费的2倍。现打算在BC上选一点D作为码头中转矿石，从D向矿场修筑一公路AD，实现水陆联运，问D点应选在距B多远处，才能使运费最省？（码头中转费及基建费不考虑）

分析：根据题意，忽略了次要因素，保留下来的各个数量，可以借助图形来加以明确，理顺它们之间的关系，问题实际转化为求二次函数的最值问题，建立数学模型。

解：设D、B相距x千米，航运m元/千米，陆运2m元/千米，总运费为y元，则

从而x=53千米，D选在离B点53千米处使运费最省。

4 对原始的实际问题进行分析加工、建立数学模型

这是一种最高层次的应用题，它要求学生具有较强的数学应用能力，当学生面对一个实际问题时，不仅要会用数学的眼光去看待它，还要能够作出数学式的思考，给出量化模型和结论，即不仅要有数学意识，还必须有数学应用的能力。

[例题4] 1997年11月18日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况。截流从8:55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米。11:50时，播音员报告宽为34.4米；到13:00，播音员又报告水面宽为31米。这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合拢。从8:55到11:50，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从11:50到13:00，每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米。从下午1点起，大约要5个小时，即到下午6点多才能合拢。但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好。现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法（即建立一种较合理的数学模型）进行计算，使你的计算结果更切合实际。

分析：所给应用问题中数据多，头绪复杂，初看无从下手，但深入分析后，对各个因素进行提炼加工，可以建立近似合理的模型。建立合理的模型应注意两点：①回填速度应以每小时多少立方米填料计算？即能否建立合理的回填速度计算模型；②注意到回填速度是在逐渐加快：水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢，反之就越快。

解：为了简便计算，回填体积可用龙口水流的截面面积代替，假设截面为等腰三角形，那么要回填的面积。

（1）经过175分钟（8:55-11:50）回填后，龙口宽为34.4米，此时截面与原截面相似（如图示），

则此时的水深h1满足， 故h1=51.6（m），此时尚待回填的面积;

回填平均速度为小时。

(2)再经过70分钟(11:50-13:00) 回填后，龙口宽为31米，则此时的水深h2满足， 故h2=3×15.5=46.5（m），此时尚待回填的面积；

从11:50到13:00回填的平均速度为小时。

由此可见比以前的速度加快了，在回填的过程中，回填速度是越来越快的。依此，可建立模型进行计算。

（3）假设回填速度加快的比为则

下午10:0-20:0，回填面积为，

20:0-30:0，回填面积为，此时，待填面积为

需要小时便能合拢，因此，自下午1:00开始，再需2.8小时，即在下午3点48分龙口即可合拢。

从以上四种类型数学应用题分析可知，它体现了数学应用能力的层次性，也反映出数学建模能力在应用题中的不同要求。教师在平时的教学中，应该引导学生有意识地、分层次针对不同类型的应用题进行训练，以提高解题能力和数学建模能力，从而培养应用数学的意识。

参考文献

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[2] 陈金康.加强应用数学提高学生的数学能力. 重庆: 数学教学通讯, 2000年第11

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[4] 林美娟.数学应用问题的建模类型及思维策略.金华.中学教研（数学）, 2000年第3

[5] 钟五一.数学建模与中学数学教学. 广州:广东教育学院

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