材料力学课件例题

　 例 例

　 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶 M=3kNm ）

　[1] 求约束反力

　在 在 CA AD DB 三段中，剪力和弯矩都不能用同一个方程式来表示，所以应分为三段建立剪力方程和弯矩方程。

　AqBM2m 2m 4mC Dm kN 3 kN/m 3    M qAqBM2m 2m 4mC DF A F BkN 5 . 140 6 5 ) 4 2 (0      AABFM F qMkN 5 . 3 0 60    B B AyF q F FF

　AqBM2m 2m 4mC D) 8 6 ( 5 . 3 ) (     x x F Q) 8 6 ( ) 8 ( 5 . 3 ) (     x x x M3.5 x F QM4.4

　剪力图与弯矩图

　[ [ [ [4 4 4 4] ] ] ] 取 D DB B B B 段 中 任 意 截 面 的 右 侧部 分 加 以 分 析

　AqBM2m 2m 4mC DqCF QMx) 2 0 ( 3 ) (       x x qx x F Q) 2 0 (2321) (2 2      x x qx x M[ [ [ [3 3 3 3] ] ] ] 取A A A A D 段 中 任 意 截 面 的 左侧 部 分 加 以 分 析: : : :

　CxF QM14.5q) 6 2 ( 3 5 . 145 14 ) (    x xqx . x F Q4.4

　剪力图与弯矩图

　) 6 2 (23) 2 ( 5 . 1421) 2 ( 5 14 ) (22      x x xqx x . x M[ [ [ [2 2 2 2] ] ] ] 取C C C CA A A A 段 中 任 意 截 面 的 左侧 部 分 加 以 分 析: : : :

　4.7 曲杆、刚架的内力和内力图* *

　例

　求 图 示 刚 架 的 剪 力 图 、 弯 矩 图 和 轴 力 图

　2m3m10kN20kNABC4.7 曲杆、刚架的内力和内力图* *

　2m3m10kN20kNABC求 约 束 反 力 ：

　     kN 20 0 20 0Ax Ax xF F F    kN 10 0 10 0Ay Ay yF F F      0 2 10 3 20 0A AM Mm kN 80  AMF AxF AyM A

　 4.7 曲杆、刚架的内力和内力图* *

　画 出 轴 力 图

　2m3m10kN20kNABC20kN10kN80kN穖10kNF N1易 知F FN N N N1 1 1 1 = = = =0 0 0 0

　10kN20kNF N2F FN N N N2 2 2 2 = = = =- - - -1 1 1 10 0 0 0k k k kN N N N

　轴 力 图

　－10kN4.7 曲杆、刚架的内力和内力图* *

　画 出 剪 力 图 、 弯 矩 图

　2m3m10kN20kNABC20kN10kN80kN穖112 21 1 1 1- - - -1 1 1 1 截 面

　kN 101QF1 11 1100 10x Mx M F N110kNF Q1M 1x 12 2 2 2- - - -2 2 2 2 截 面

　F N210kN20kNF Q2M 2x 2kN 0 22  QF2 22 220 200 2 10 0 2x Mx M    

　4.7 曲杆、刚架的内力和内力图* *

　画 出 剪 力 图 、 弯 矩 图

　2m3m10kN20kNABC20kN10kN80kN穖112 2kN 101  QF1 11 1100 10x Mx M kN 0 22QF2 22 220 200 2 10 0 2x Mx M    剪 力 图

　+10kN+20kN弯 矩 图

　20kN穖20kN穖80kN穖

　 3 3 、圆轴扭转时横截面上的切应力

　例 题

　某 汽 车 传 动 轴 ， 用4 45 5 号 无 缝 钢 管 制 成 ， 其 外 径

　D D

　= =9 90 0 m m, ,

　壁 厚

　t t

　= =2 2. .5 5 m m, , 使 用 时 最 大 扭 矩 为T T

　= =1 15 50 00 0N N·· m ， 已 知 钢 管 允 许 的最 大 切 应 力 为6 60 0 MP Pa a ， 问 此 轴 是 否 满 足 设 计 要 求 ？

　若 此 轴 改 为 实心 圆 轴 ， 并 要 求 同 样 的 最 大 切 应 力 ， 那 么 实 心 轴 的 直 径D D1 1

　应 为 多少 ？ 从 此 题 中 得 到 什 么 样 的 启 发 ？

　3 3 、圆轴扭转时横截面上的切应力

　D D

　= =9 90 0 m m, ,

　t t

　= =2 2. .5 5 m m, ,

　T T

　= =1 15 50 00 0N N·· m

　1 1 、 抗 扭 截 面 模 量

　    4343)2( 116) 1 (16 Dt D D DW p3 6 m10 24 . 29 2 2 、 轴 上 最 大 切 应 力

　60MPa 51.3MPa Pa 10 3 . 5110 24 . 29150066maxmax    pxWM3 3 、 若 改 为 实 心 轴

　16π51.3MPa31 maxmaxDWWMppx   53mm m 053 . 010 3 . 51 π1500 16361   D

　 3 3 、圆轴扭转时横截面上的切应 力

　分 析: :

　实 心 圆 截 面 面 积: :

　2211mm 22054π DA空 心 圆 截 面 面 积: :

　22 22mm 6874) ( πd DA重 量 比: :

　% 1 322056871212  AAGG因 此 ， 在 承 载 能 力 相 同 的 条 件 下 ， 使 用 空 心轴 要 比 使 用 实 心 轴 节 省 材 料 ， 更 加 经 济 。

　思 考: :

　理 论 上 为 什 么 同 等 重 量 的 空 心 轴 要 比 实 心 轴 抗 扭 能 力 强 ？

　例1 11 1- -2 2

　空 气 压 缩 机 的 活 塞 杆 （ 圆 形 截 面 ）

　两 端 铰 支 ， 由4 45 5 号 钢制 成 ， s s= =3 35 50 0 MP Pa a

　， ，

　  p p= =2 28 80 0 MP Pa a

　， ，E E= =2 21 10 0 GP Pa a

　， ， 长

　l l

　= =7 70 00 0 m m

　，直 径

　d d

　= =

　4 45 5 m m 。

　求 临 界 压 力 。

　第三节

　欧拉公式的适用范围及经验公式

　空 气 压 缩 机 的 活 塞 杆 （ 圆 形 截 面 ）

　两 端 铰 支 ， 由4 45 5 号 钢 制 成 ， s s= =3 35 50 0 MP Pa a

　，

　  p p= =2 28 80 0 MP Pa a

　，E E= =2 21 10 0 GP Pa a

　， 长

　l l

　= =7 70 00 0 m m

　， 直 径

　d d

　= =

　4 45 5 m m 。

　求 临 界 压 力 。

　解 ：1 1 、 计 算  s s , ,

　 p p

　pp2πE8610 28010 210 π69 2 查 表 优 质 碳 钢 的

　a a 、b b

　sbas  2 . 4357 . 2350 4612 2 、 计 算 柔 度

　活 塞 杆 为 圆 形 截 面 ， 故 其 惯 性 半 径

　4di il 62445700 1属 于

　柔 度 杆

　中

　第三节

　欧拉公式的适用范围及经验公式

　空 气 压 缩 机 的 活 塞 杆 （ 圆 形 截 面 ）

　两 端 铰 支 ， 由4 45 5 号 钢 制 成 ， s s= =3 35 50 0 MP Pa a

　， ，

　  p p= =2 28 80 0 MP Pa a

　，E E= =2 21 10 0 GP Pa a

　， 长

　l l

　= =7 70 00 0 m m

　， 直 径

　d d

　= =

　4 45 5 m m 。

　求 临 界 压 力 。

　。

　3 3 、 计 算 临 界 应 力 及 临 界 压 力

　62  cr b a MPa 302 MPa 62 568 . 2 461    478.71kN kN 10 ) 10 45 (4π10 3013 2 3 6cr cr        A F 第三节

　欧拉公式的适用范围及经验公式

　例

　精 密 磨 床 砂 轮 轴 ， 电 机 功 率P P= =3 3k k W ， 转 速n n= =1 14 40 00 0r rp p m ， 转 子 重 量W1 1= =1 10 00 0N N, ,

　砂 轮 直 径D D= =2 25 50 0 m m ， 重 量 W2 2= =2 27 75 5N N ， 磨 削 力P Py y: :P Pz z= =1 1: :3 3 。

　。

　砂 轮 轴 的 直 径d d= =5 50 0 m m, , 材 料 的 许 用 应 力[ [ ] ]= =6 60 0 MP Pa a 。

　试 按 照 第 三强 度 理 论 和 第 四 强 度 理 论 校 核 轴 的 强 度 。

　结 构 如 图 所 示 。

　A BW 1W 2P yP z130 180 300扭转与弯曲的组合变形

　A BW 1W 2P yP z130 180 300 确 定 计 算 简 图

　xyzABP yP z -W 2W 1M xP y D/2计 算 传 递 的 力 矩

　nPM x 9549 m 5N . 20140039549   磨 削 力P Py y对 砂 轮 轴 线 的 力 矩: :

　2 / D P My由

　0xMm 5N . 20 2 /    D P My164N yP492N 3  y zP P217N2 W Pz扭转与弯曲的组合变形

　画 出 扭 矩 图 弯 矩 图

　xyzABP yP z -W 2W 1M xP y D/2xM x+20.5N穖xM y+－28.2N穖18N穖xM z21.3N穖－xM35.3N穖18N穖合 成 弯 矩

　2max2max max z yM M M  m 3N . 35 3 . 21 2 . 282 2   第 三 强 度 理 论

　2 21M MWx33MPa . 3 3 . 35 5 . 20π322 23  d] [  安 全

　第 四 强 度 理 论

　] [ 22MPa . 3 75 . 012 2   M MWx安 全

　例集中力F 作用的矩形截面简支梁如图所示。比较其弯曲和剪切点 两种应变能，并在忽略切应变能的情况下，求中点 C 的挠度二、

　杆件的变形能计算

　扭转与弯曲的组合变形

　二、

　杆件的变形能计算

　解：（1 ）分别求 弯曲 应变能 首先求支座反力，由对称性易 2FF Ay 2FF By再求出剪力方程和弯矩方程    20 ,2,2lxFxx MFx F Q     EIl FxEIFxxEIx MVl l96d222 d223 22022021  由对称性得：

　剪切应变能：

　GAl FxGAFxGAFVl lQ8d222 d2222022022   二、

　杆件的变形能计算

　剪切 应变能与 弯曲 应变能之 2FF Ay  2FF By56 矩形截面梁：

　EIl FGAl FV V96:8:3 2 21 2 212GAlEI 12, ,122 3hAIbh AbhI      1 2EG 21 21512:  lhV V  因此，对于细长梁可以不考虑剪切应变能。

　0312 . 0 :101, 3 . 02 1    V ，Vlh

　二、

　杆件的变形能计算

　（2 ）求中点C 的挠度w c cw FEIl F 21963 2cw F W  21外力 F 做的功：

　EIFlw c483EIl FV V963 21  杆件变形能：

　根据功能原理

　W V 例

　均布载荷作用下的简支梁如图所示，EI 为常量，试求跨度中点的C 的挠度w C qABCl/2 l/2第七节

　图乘法（维利沙金法）

　qABCl/2 l/282qll/4M(x)M 0 (x)

　由于弯矩图左右对称，可取其中一半计 算  2 8 322l ql243ql形心位置 形心C C5l/16CM 04 85 l325l按照图乘法求跨中挠CwEIMEIMC C 0 0   3252422l qlEI EIql38454第七节

　图乘法（维利沙金法）

　[ 解] 1 、画出梁的弯矩图 qABCl/2 l/2+82ql2 、在梁的中点施加单位力 A BCF 0 =13 、画出单位力作用下的弯矩图 l/4+4 、利用图乘法求解。由于单位力作用下的 弯矩图是折线 ，因此要分段求和。

　第七节

　图乘法（维利沙金法）

　PART B 二向应力状态分析的解析法

　例 ：

　如 图 所 示 横 力 弯 曲 的 梁 ， 求 出I I- -I I 截 面 上 的 弯 矩 和 剪 力后 ， 计 算 得 到 单 元 体 体 A A 上 的 正 应 力 力

　  = =

　- -7 70 0 MP Pa a, ,

　切 应 力  = =5 50 0 MP Pa a ， 确 定 该 点 的 主 应 力 大 小 及 主 平 面 的 方 位 。   qIIlaAIIPART B 二向应力状态分析的解析法

　AIIA取x x 轴 向 上 ：   xx 0 y 70MPa xy50MPa y xxy  2tan20  1.42970 050 2      235 or 55 20   5 . 117 or 5 . 270       sin2 cos22 2xyy x y x代 入       5 . 117 or 5 . 270) 5 . 27 ( 26MPamax     ) 5 . 117 ( 96MPamin     

　 PART B 二向应力状态分析的解析法

　AII) 5 . 27 ( 26MPamax    ) 5 . 117 ( 96MPamin     Ax27.5 °117.5 °    26MPa1 0MPa2 96MPa3  例

　T T 型 截 面 铸 铁 梁 的 载 荷 和 截 面 尺 寸 如 图 所 示 。

　已 知 截面 的 惯 性 矩I Iz z= =2 26 6. .1 1 ×1 10 06 6m m4 4, ,

　y y1 1= =4 48 8 m m, ,

　y y2 2= =1 14 42 2 m m 。

　材 料 的 许用 应 力[ [  + +] ]= =4 40 0 MP Pa a, ,

　[ [  － ] ]= =1 11 10 0 MP Pa a 。

　试 校 核 梁 的 强 度 。

　AC B D40kN200kN/m800 800 400yzy 1 y 2梁弯曲时的强度计算

　AC B D40kN200kN/m800 800 400yzy 1 y 21 1 ）

　作 出 梁 的 弯 矩 图

　－+8kN穖 穖16kN穖 穖M2 2 ）

　危 险 点 分 析

　CM C M CBM BM BB B 点 弯 矩 绝 对 值 最 大 ， 应 校 核 拉 、 压 应力 ，C C 点 下 侧 受 拉 ， 但 离 中 性 轴 较 远 ，其 最 大 拉 应 力 有 可 能 比 截 面B B 的 上 侧 还要 大 ， 所 以 也 可 能 是 危 险 点 。

　梁弯曲时的强度计算

　AC B D40kN200kN/m800 800 400yzy 1 y 23 3 ）

　强 度 校 核

　Iy MBB1MPa10 1 . 2648 10 1666 －+8kN穖 穖16kN穖 穖M] [ MPa 4 . 29  zBIy MB2 MPa10 1 . 26142 10 1666 ] [ 87.0MPa  ] [ 43.5MPa MPa10 1 . 26142 10 8662     Iy M CC故 该 梁 不 安 全 。

　梁弯曲时的 强度计算

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