地毯商的数学脑袋

一个数学问题可以从不同的角度进行特殊化.例如，研究任意多边形时，先研究正多边形的性质，或先研究三角形的性质，前者是从多边形的形状方面进行特殊化，后者是从多边形的边数方面进行特殊化.许多数学问题可以从研究它的特殊情况出发，通过观察、类比、归纳、推广等方法，发现解决一般问题的途径.研究特殊情况，要比研究一般情况容易得多，研究特殊情况所得到的信息，往往是解决一般情况的桥梁和先导.

我们举一个例子来说明特殊化思想的作用.

一位地毯商收到了一份订单，顾客要求地毯公司为他们的环形跑道铺设地毯，如图1.设计图上只有一个数据，地毯商不知道两个圆的半径，也就无法算出环形跑道的面积，不知道跑道的面积，又怎么估算工程的造价呢？推辞不做，地毯商舍不得这笔生意中的可观利润.

地毯商想来想去，得不到要领，只好向他的朋友请教.

他的朋友是一位几何学家，他只看了一眼图纸就满有把握地说：“是的，有了这一个数据就足够了.”

几何学家正要给地毯商讲解如何根据那个数据推算出环形跑道的面积，聪明的地毯商早就眉开眼笑，对他的朋友说：“谢谢你，我已经知道了.”

几何学家感到很奇怪．因为他知道，这位朋友虽然在商场上是高手，但他的几何知识却不敢恭维，那么，他又是凭什么找到正确答案的呢？原来这位地毯商进行了如下的推理：

（１）我的朋友是几何学家，他的话肯定是对的，他说可以算出环形跑道的面积，就一定可以算出．

（２）只要通过线段ＡＢ的长度ａ就可以算出跑道的面积，可见这个面积只与ａ有关，而与两个圆的半径的大小无关．

（３）既然环形跑道的面积与两个圆的半径无关，那么为什么不可以假定小圆的半径是特殊情况呢？当小圆的半径不断变小，最后变为０的时候，那当然最特殊了．这时ＡＢ变成大圆的直径，这时环形跑道的面积就是大圆的面积．

（４）此时大圆的直径为ａ，它的面积就是πａ２，这不算出环形跑道的面积了吗？

上面的思维过程，我们用图２可以直观地表示出来．

地毯商的思维方法是对的，并且结果也是对的，环形跑道的面积的确等于一个直径为ａ的圆的面积．学过圆和勾股定理后，我们很容易把它推导出来．

下面是２０世纪６０年代北京市的一道数学竞赛题：

设在桌面上有一个丝线做成的线圈，它的周长是２ｌ，试证明：用直径为ｌ的圆形纸片总能完全盖住它．

这个问题对中学生来说，并不是一个简单的问题．如果利用特殊化思想来解答，非常容易．如图３，先考虑线圈做成一个圆的时候，它的圆心是Ｏ，直径是ＡＢ．这时我们只要把圆形纸片的圆心与Ｏ重合，形成两个同心圆，因为圆形纸片的半径大于线圈的半径，因而盖住了整个线圈．

把线圈再变成一般形状的曲线，如图４．这时我们不妨作这样类比，假定这条曲线是由圆Ｏ“扭曲”而成的，圆的直径ＡＢ的两个端点，变成了Ａ′和Ｂ′，Ｏ点变成了ＡＢ线段的中点Ｏ′．我们只要证明：圆形纸片的半径大于曲线“半径”（Ｏ′点与曲线上任一点的连线）就可以了．这点是很容易证明的．

上面两个例题都是用特殊化思想解决了一般性的问题．利用特殊化思想解题的一般步骤如下：

（１）我们研究一个问题，希望能得出肯定或否定的结论，可以先研究这个问题的一种特殊情形．

（２）如果对特殊情形所得到的结论与原来的命题是相悖的，那么这一反例就否定了原命题，说明原命题不成立．

（３）如果对特殊情况所得到的结论与原命题是相符的，通过特殊情况与一般情况的类比，我们就有了“原来的一般性命题是正确的”的预感．

（４）为了解决一般性命题，我们先解决了另一个问题——原问题的一种特殊情况，它常称为辅助问题．原问题是提出来的，而辅助问题则是在求解原题的过程中创造出来的，以辅助问题作为跳板，在它的基础上解决原问题．

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