圆锥曲线综合经典题型一：定值问题

　圆锥曲线综合 经典 题型一：定值问题 1．已知椭圆  2 22 21 0x yC a ba b    ：

　离心率等于12，   23 P ， 、   2, 3 Q  是椭圆上的两点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）

　, A B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点.当 , A B 运动时，满足 APQ BPQ   ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由. 2．已知 A 为椭圆 12222 byax  0  b a 上的一个动点，弦 AC AB, 分别过左右焦点2 1F F， ，且当线段1AF 的中点在 y 轴上时，31cos2 1  AF F ． （Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设 C F AF B F AF2 2 2 1 1 1,     ,试判断2 1   是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由． 3．已知椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    ，(2 0) A ， 为椭圆与 x 轴的一个交点，过原点 O 的直线交椭圆于 , B C 两点，且• 0 AC BC ， 2 BC AC  . （1）求此椭圆的方程； （2）若   , P x y 为椭圆上的点且 P 的横坐标 1 x ，试判断 •PB PCk k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

　 4．如图，点   2,0 A  ，   2,0 B 分别为椭圆  2 22 2: 1 0x yC a ba b    的左右顶点，, , P M N 为椭圆 C 上非顶点的三点，直线 , AP BP 的斜率分别为1 2, k k ，且1 214k k   ，// AP OM ， // BP ON ．

　 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）判断 OMN  的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 5．已知椭圆 C ：2 22 21( 0)x ya ba b    .

　（1）若椭圆的离心率为12，且过右焦点垂直于长轴的弦长为 3 ，求椭圆 C 的标准方程； （2）点( ,0) P m为椭圆长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为ba的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，试判断2 2PA PB  是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因. 6．已知点 P 在圆 : O2 29 x y   上运动，点 P 在 x 轴上的投影为 Q ，动点 M 满足4 3 2 PQ MQ   . （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）设         3,0 , 3,0 G H   ,过点   1,0 F 的动直线 l 与曲线 E 交于 , A B (不同于 , G H )两点.问：直线 AG 与 BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 7．已知椭圆2 22 2: 1( 0)x yC a ba b    上的点到两个焦点的距离之和为23，短轴长为12，直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点. （1）求椭圆 C 的方程；

　 （2）若直线 l 与圆2 21:25O x y   相切，探究 MON  是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 8．已知椭圆  2 22 21 0x ya ba b    的四个顶点围成的菱形的面积为 4 3 ，椭圆的一个焦点为圆2 22 0 x y x    的圆心．

　(1)求椭圆的方程； (2)若 M，N 为椭圆上的两个动点，直线 OM，ON 的斜率分别为1 2, k k ，当1 234k k   时，△ MON 的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． 9．已知椭圆2 22 2: 1( 1)x yE a ba b    的离心率22e  ，其左、右顶点分别为点, A B ，且点 A 关于直线 yx 对称的点在直线3 2 y x  上. （1）求椭圆 E 的方程； （2）若点 M 在椭圆 E 上，点 N 在圆2 2 2: O x y b   上，且 , M N 都在第一象限，MN y  轴，若直线 MA MB 、 与 y 轴的交点分别为 CD 、 ，判断 sin CND  是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 10．已知椭圆 C ：2 22 21( 0)x ya ba b    的离心率为22，且过点2 3( , )2 2P，动直线 l ：

　ykx m  交椭圆 C 于不同的两点 A ， B ，且0 OA OB  （ O 为坐标原点）. （1）求椭圆 C 的方程； （2）讨论2 23 2 m k 是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.

　参考答案 1．解：（1）椭圆 C 的方程为2 2116 12x y  ； （2）设 A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 当∠APQ＝∠BPQ，则 PA、PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k， 则 PB 的斜率为﹣k，直线 PA 的直线方程为 y﹣3＝k（x﹣2）， 联立 2 22 3116 12y k xx y    ，得（3+4k 2 ）x 2 +8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）

　2 ﹣48＝0． ∴ 128 2 323 4k kxk ．同理直线 PB 的直线方程为 y﹣3＝﹣k（x﹣2）， 可得   22 28 2 3 8 2 323 4 3 4k k k kxk k      ．∴21 2216 123 4kx xk ，1 22483 4kx xk ，      1 2 1 21 21 2 1 2 1 22 3 2 3 4ABk x k x k x x k y ykx x x x x x            22216 12413 44823 4kk kkkk  ， ∴AB 的斜率为定值12．

　2．解：

　（Ⅰ）当线段1AF 的中点在 y 轴上时， AC 垂直于 轴，1 2AFF  为直角三角形． 因 为1 21cos3F AF   , 所 以1 23 AF AF  , 易 知22bAFa , 由 椭 圆 的 定 义1 22 AF AF a   ． ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为2 2 22 2 x y b   焦点坐标为    1 2,0 , ,0 F b F b 

　（1）当 AB AC 、

　的斜率都存在时,设  0 0, A x y

　,    1 1 2 2, , , B x y C x y , 则直线 的方程为  00yy x bx b ,代入椭圆方程得    2 2 2 20 0 0 03 2 2 0 b bx y by x b y b y     

　．2 200 2203 2b yy yb bx  ． 又20 022 23 2AFy b xF C y b  ．同理013 2.b xb

　1 26      ．……10 分 （2）若 AC x  轴,则2 13 21, 5b bb    ，这时1 26     ． 若 AB x  轴,则1 21, 5     这时也有1 26     ．综上所述,1 2   是定值 6． 3．解：(1)椭圆的方程为2 21443x y . (2)由(1)可得 (1,1) C ， ( 1, 1) B   ，由( , ) P x y 在椭圆上，可得2 2314 4x y  ， 所以2222 2 2411 13 4 1 1 1 13 31 1 1 1 1 3PB PCxxy y yk kx x x x x                ， 即PB PCk k 是定值，定值为13 . 4．解：（Ⅰ）

　椭圆22: 14xC y  ． （Ⅱ）设直线 MN 的方程为y kx t  ， 1 1, M x y， 2 2, N x y，  2 2 222,4 1 8 4 4 01,4y kx tk x ktx txy        ， 1 2284 1ktx xk  ，21 224 44 1tx xk，   1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 21 14 0 4 04 4y yk k y y x x kx t kx t x xx x            ，

　   2 21 2 1 24 1 4 4 0 k x x kt x x t     ，  22 2 2 22 24 4 84 1 4 4 0 2 4 14 1 4 1t ktk kt t t kk k           ，        2 22 21 2 1 2 1 21 1 4 MN k x x k x x x x          22 222 2 28 4 4 11 4 2 24 1 4 1 4 1kt t kkk k k              ， ，222 212 2 14 11 2t t kSkk t   ．OMN  ∴的面积为定值 1． 5．解：（1）12e  ，即12ca ， 2 a c  ，不妨令椭圆方程为2 22 214 3x yc c  ， 当 xc 时，32y  ，得出 1 c  ，所以椭圆的方程为2 214 3x y  . （2）令直线方程为  by x ma  与椭圆交于  1 1, A x y ，  2 2, B x y 两点， 联立方程 2 22 21by x max ya b  得2 2 2 2 2 2 22 2 b x b mx b m a b   ， 即2 2 22 2 0 x mx m a    ，∴1 2x x m   ，2 21 22m ax x ， ∴2 2PA PB 

　   2 22 21 1 2 2x m y x m y      

　 22121bx ma       22221bx ma         22 21 221bx m x ma           2 22 21 22a bx xa 

　 2 221 2 1 222a bx x x xa     2 2a b  为定值. 6．(1)解:设    0 0, , , M x y P x y ,则  0 ,0Q x .    0 00, , , PQ y MQ x x y       . 21tdk

　4 3 2 PQ MQ 

　  000 3 24 3 2x xy y      解得003 24x xyy 

　 0 0, P x y

　在2 29 x y   上,

　223 294yx      ,整理得2 219 8x y+ =

　故动点 M 的轨迹 E 的方程为2 219 8x y+ = . (2)解:由题意知, l 的斜率不为 0,则设 : 1 l x my   ,    1 1 2 2, , , A x y B x y

　, 与曲线 E 方程联立得2 2119 8x myx y    ,整理得  2 28 9 16 64 0 m y my    

　 则1 2 1 22 216 64,8 9 8 9my y y ym m       1 2 1 24 my y y y   

　 直线 AG 的斜率1113ykx,直线 BH 的斜率2223ykx 此时    1 2 1 21 1 2 1 1 2 12 2 1 2 1 1 2 2 1 2 23 2 2 4 4 2 13 4 4 4 4 4 2y x y my k my y y y y yk y x y my my y y y y y            

　所以直线 AG 与 BH 的斜率之比是定值,为12. 7．解：（1）2 29 16 1 x y  

　 （2）当直线 l x  轴时，因为直线与圆相切，所以直线 l 方程为15x  

　 当1:5l x  时，得 M、N 两点坐标分别为1 1 1 1, , ,5 5 5 5         ， 0,2OM ON MON    

　 当1:5l x   时，同理2MON  ；

　 当 l 与 x 轴不垂直时， 设    1 1 2 2: , , , , l y kx m M x y N x y   ，由2151mdk , 2 225 1 m k   ,

　联立2 29 16 1y kx mx y   得  2 2 29 16 32 16 1 0 k x kmx m     

　     22 21 223232 4 9 16 16 1 0,9 16kmkm k m x xk        ，21 2216 19 16mx xk，

　   2 21 2 1 2 1 2 1 21 OM ON x x y y k x x km x x m          =2 2225 109 16m kk 

　 2MON 

　 综上，2MON  （定值）

　8．解（1）椭圆的方程为2 214 3x y  .

　（2）设1 1 2 2( , ), ( , ) M x y N x y ，当直线 MN 的斜率存在时，设方程为 y kx m   ， 由2 214 3x yy kx m   ，消 y 可得，2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0 k x kmx m     

　 则有2 2 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12) 48(4 3) 0 k m k m k m          ，即2 24 3 m k  ， 21 2 1 22 28 4 12,3 4 3 4km mx x x xk k    ， 所以2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4 MN k x x k x x x x       

　22 22 28 4 121 ( ) 43 4 3 4km mkk k      22 224 3 14 33 4kk mk  .

　点 O 到直线 MN 的距离2| |1mdk， 所以2 221 2 3 | || | 4 32 3 4MONmS MN d k mk   .

　 又因为1 21 21 234y yk kx x   ，

　所以22 2221 2 1 221 228( )( ) 33 44 12 43 4kmkm mk x x km x x mkkm x xk     ， 化简可得2 22 4 3 m k   ，满足  ，

　代入MONS  22 22 22 3 | | 2 34 3 33 4 2m mk mk m   ，

　当直线 MN 的斜率不存在时，由于1 234k k   ，考虑到 , OM ON 关于 x 轴对称，不妨设1 23 3,2 2k k    ，则点, M N 的坐标分别为6 6( 2, ), ( 2, )2 2M N , 此时12 6= 32MONS     ， 综上， MON  的面积为定值 3 .

　 法二：设1 1 2 2(2cos , 3sin ), (2cos , 3sin ) M N     ， 由题意1 2 1 21 21 2 1 23sin sin 34cos cos 4y yk kx x      ，可得1 2cos( ) 0     ，

　所以1 2( )2k k      Z ，

　而1 2 2 11|2 3cos sin 2 3cos sin |2MONS      

　1 23|sin( )|    

　因为1 22k      ，所以1 2sin( = 1     ）

　，故MONS  3 为定值. 9．解：（1）椭圆 E 的方程为：2 214 2x y  . （2）设  0 0, M x y ，    : 2 0 AM y k x k    ， 令 0 x  ，解得 2 y k  ，∴   0,2 C k . 联立 2 222 4y k xx y   ，化简得：

　   2 2 2 22 1 8 8 4 0 0 k x k x k k       . ∴2028 422 1kxk ，解得2022 42 1kxk.

　∴0242 1kyk，即22 22 4 4,2 1 2 1k kMk k     . ∴直线 BM 的斜率=222412 12 4 222 1kkk kk . ∴ BM 的方程：

　 122y xk   ，令 0 x  ，解得1yk ，∴10, Dk   . 设  0,NN x y ，则  0,2NNC x k y    ，01,NND x yk     . ∴22 20 02 12NkNC ND x y yk     . ∵2 20 0242,2 1Nkx y yk  ， ∴0 NC ND  ，∴ NC ND  ，即90 CND    . ∴ sin 1 CND   为定值. 10． 解：

　（1）椭圆方程为2212xy   .

　（2）设    1 1 2 2, , , A x y B x y ，由0 OA OB  ， 可知1 2 1 20 x x y y   . 联立方程组22,{1,2y kx mxy   消去 y 化简整理得  2 2 21 2 4 2 2 0 k x kmx m      ， 由   2 2 2 216 8 1 1 2 0 k m m k       ，得2 21 2k m  ，所以1 2241 2kmx xk  ，21 222 21 2mx xk，③ 又由题知1 2 1 20 x x y y   ， 即   1 2 1 20 x x kx m kx m     ，

　整理为    2 21 2 1 21 0 k x x km x x m      . 将③代入上式，得 22 22 22 2 41 01 2 1 2m kmk km mk k     . 化简整理得2 223 2 201 2m kk ，从而得到2 23 2 2 m k  .

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