常用基本求导公式

　１.基本求导公式 ⑴ ( Ｃ 为常数)⑵ ;一般地,。

　特别地:,,,。

　⑶ ;一般地,、 ⑷ ;一般地,。

　2。求导法则 ⑴ 四则运算法则 设 f( ｘ ),g(x)均在点 ｘ 可导,则有:(Ⅰ); (Ⅱ),特别(C 为常数); (Ⅲ),特别。

　3.微分

　函数在点 x 处得微分: 常用得不定积分公式 (1)            cxdx xxdx x cxxdx c x dx C x dx x43,2, ), 1 ( 11433221 ; (２) ; ; ; (3)(k 为常数) 5 、定积分

　⑴

　⑵ 分部积分法 设 u(x),v( ｘ )在［a,b]上具有连续导数,则

　6、线性代数

　特殊矩阵得概念 (1)、零矩阵 (２)、单位矩阵二阶 (3)、对角矩阵(4)、对称矩阵 (5)、上三角形矩阵下三角形矩阵 (6)、矩阵转置转置后 ６、矩阵运算

　7、MＡTLAＢ软件计算题 例 例 6 试写出用 MＡTLAB 软件求函数得二阶导数得命令语句。

　解 解:〉〉ｃlｅａr; 〉>syms

　x

　ｙ; 〉〉ｙ=loｇ(sqｒt(x＋x＾2)+eｘp(x)); >>dy=diｆf(ｙ,2) 例 例:试写出用 MＡTLAB 软件求函数得一阶导数得命令语句。

　>＞ｃleaｒ; 〉〉sｙms

　ｘ

　y; 〉>y＝log(sqrt(ｘ)+exp(x)); 〉〉ｄｙ＝ｄiff(y) 例１1 试写出用 MAＴLＡB 软件计算定积分得命令语句。

　解 解:>＞cleａr; ＞>syms

　x

　y; >〉y=(1/ｘ)＊exp(ｘ^3);

　>〉int(y,1,２) 例 例

　试写出用 MATＬAＢ软件计算定积分得命令语句。

　解 解:〉>cｌeａr; ＞>syｍs

　ｘ

　ｙ; >>ｙ＝(1/x)*exp(x^3); >＞iｎt(ｙ) MATLAB 软件得函数命令

　 表 1 ＭATLAB 软件中得函数命令 函数

　MＡＴLAB

　 运算符号 运算符 + - ＊ / ^ 功能 加 减 乘 除 乘方 典型例题 例１

　设某物资要从产地A １ ,A 2 ,Ａ 3 调往销地B １ ,B 2 ,B 3 ,B 4 ,运输平衡表(单位:吨)与运价表(单位:百元/吨)如下表所示: 运输平衡表与运价表 销地 产地 B 1 Ｂ２

　B３

　B 4

　供 应量 B 1 Ｂ2

　B 3

　Ｂ4

　A 1

　 ７ 3 11 3 1１

　Ａ ２

　4 1 ９ 2 8 A ３

　9 ７ 4 10 5 需求量 3 6 5 ６ 20

　 (１)用最小元素法编制得初始调运方案, (2)检验上述初始调运方案就是否最优,若非最优,求最优调运方案,并计算最低运输总费用。

　解:用最小元素法编制得初始调运方案如下表所示: 运输平衡表与运价表 找空 格对应得 闭回路 , 计算检验数: =１, ＝1, ＝0, ＝—2 已出现负检验数,方案需要调整,调整量为

　１ 调整后得第二个调运方案如下表: 运输平衡表与运价表 销地 B 1 B 2

　B 3

　B 4

　供 应 B 1 B B 3

　Ｂ销地 产地 Ｂ 1 Ｂ 2

　Ｂ ３

　Ｂ 4

　供 应量 B１

　B 2

　Ｂ３

　B４

　A 1

　 4 3 7 3 １１ 3 11 Ａ 2

　3

　1

　4 1 9 2 8 Ａ 3

　 ６

　3 9 7 4 １0 5 需求量 3 6 5 6 20

　产地 量 ２

　4

　A １

　5 2 ７ 3 １1 3 1１ A 2

　3

　 １ 4 1 ９ 2 ８ A 3

　 ６

　3 9 7 4 １0 5 需求量 ３ ６ 5 ６ 20

　 求第二个调运方案得检验数: =-１ 已出现负检验数,方案需要再调整,调整量为

　2 调整后得第三个调运方案如下表: 运输平衡表与运价表 销地 产地 Ｂ 1 B 2

　B 3

　Ｂ 4

　供 应量 Ｂ1 B 2

　B 3

　Ｂ4

　A 1 2

　5

　7 ３ １１ 3 11 Ａ 2

　1

　 3 4 1 9 2 8 A ３

　 ６

　3 9 7 ４ 10 ５ 需求量 ３ 6 5 6 20

　 求第三个调运方案得检验数: =2, =1, =2, =1, ＝9, ＝12 所有检验数非负,故第三个调运方案最优,最低运输总费用为:

　 2×３+5×３+1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝8５(百元)

　例 例 2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知,该企业生产得甲、乙、丙三种产品,均为市场紧俏产品,销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品得单位产品原材料消耗定额分别为４公斤、４公斤与５公斤;三种产品得单位产品所需工时分别为 6台时、3 台时与 6 台时。另外,三种产品得利润分别为 40０元/件、250元/件与 300 元/件、由于生产该三种产品得原材料与工时得供应有一定限制,原材料每天只能供应 180 公斤,工时每天只有１５0 台时。

　1.试建立在上述条件下,如何安排生产计划,使企业生产这三种产品能获得利润最大得线性规划模型。

　2。

　写出用 MATLＡＢ软件计算该线性规划问题得命令语句、 解:１、设生产甲、乙、丙三种产品分别为 x 1 件、x 2 件与 ｘ 3 件,显然x 1 ,x 2 ,x 3 ≥０ 线性规划模型为

　2、解上述线性规划问题得语句为: 〉>clear; 〉＞Ｃ=－[400

　250

　300］; ＞＞A=[4

　4

　5;6

　3

　6］; >〉B＝［18０;150]; >>LB=［0;0;0］; >>[X,fval,exitflaｇ]=lｉｎpｒｏg(C,A,B,[],[],LB) 例 例 3 已知矩阵,求:

　解 解:  3 61 22 01 11 60 12 10 11 11 41 22 1 01 0 1C AB

　例４

　 设 y＝(1＋ ｘ 2 )lｎ

　x,求: 解 解: 例 例 5

　 设,求: 解 解: 例 例 7

　 某厂生产某种产品得固定成本为 2 万元,每多生产 1 百台产品,总成本增加 1 万元,销售该产品 q 百台得收入为 R

　( ｑ )＝4 ｑ -0、５ ｑ2 (万元)。当产量为多少时,利润最大？最大利润为多少? 解 解:产量为 q 百台得总成本函数为:C( ｑ )＝q+2 利润函数 Ｌ

　(q)＝R

　(q)-C(q)=—０。5q 2 ＋3 ｑ －2 令 ML(q)=－q＋３＝0 得唯一驻点 ｑ =３(百台) 故当产量 ｑ =3 百台时,利润最大,最大利润为 L

　(3)＝—0。5×3２ +3×３—2=2、5(万元) 例 例 8 某物流企业生产某种商品,其年销售量为１0０0０00 件,每批生产需准备费 1000 元,而每件商品每年库存费为 0。０5 元,如果该商品年销售率就是均匀得,试求经济批量、 解 解:库存总成本函数 令得定义域内得唯一驻点 q＝2０0０００件。

　即经济批量为 200０00 件。

　例 例 9 计算定积分: 解 解:

　例 １０ 计算定积分: 解 解: 教学补充说明 １。

　对编程问题,要记住函数ｅｘ ,ln

　x,在 MＡTLＡB 软件中相应得命令函数 eｘp(ｘ),log(ｘ),ｓqrt(x); 2 对积分问题,主要掌握积分性质及下列三个积分公式: ( ａ ≠－１)

　 7。

　记住两个函数值:e０ ＝1,ln

　1=0。

　模拟试题 一、单项选择题:(每小题 4 分,共 20 分) １、 若某物资得总供应量(

　Ｃ

　)总需求量,可增设一个虚销地,其需求量取总供应量与总需求量得差额,并取各产地到该销地得单位运价为 0,则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。

　(A) 等于

　(B) 小于

　(Ｃ) 大于

　(D) 不超过

　２.某物流公司有三种化学原料 A １ ,Ａ 2 ,Ａ 3 、每公斤原料 A 1 含Ｂ １ ,Ｂ２ ,B 3 三种化学成分得含量分别为０.7 公斤、０、2 公斤与 0.1 公斤;每公斤原料 A 2 含 B 1 ,Ｂ 2 ,B 3 得含量分别为 0。1 公斤、0、3 公斤与 0。6公斤;每公斤原料 A 3 含 B 1 ,B 2 ,B 3 得含量分别为 0。3 公斤、0。4 公斤与 0、3 公斤、每公斤原料Ａ １ ,A 2 ,A 3 得成本分别为５0０元、3０0 元

　与 40０元、今需要 B 1 成分至少１00 公斤,B 2 成分至少５0 公斤,Ｂ 3 成分至少８0 公斤。为列出使总成本最小得线性规划模型,设原料 A１ ,A 2 ,A 3 得用量分别为 x 1 公斤、 ｘ ２ 公斤与 ｘ 3 公斤,则目标函数为(

　D

　)。

　(A) max

　S=500x 1 ＋3０0x 2 +４00x ３

　(Ｂ) min

　S=1０0x 1 +50 ｘ 2 ＋8０ ｘ３

　(C) mａx

　S＝100 ｘ 1 +50x ２+８０ ｘ 3

　(D) ｍｉｎ

　S＝500x 1 ＋30０x 2＋400x 3

　3。

　设,并且 A= Ｂ ,则 ｘ =(

　Ｃ

　)、 (Ａ) 4

　(B) 3

　(C) ２

　(D) 1

　４、设运输某物品 q 吨得成本(单位:元)函数为 Ｃ (q)=q 2 ＋50q+２000,则运输该物品 100 吨时得平均成本为( A

　 )元/吨。

　(Ａ) 170

　(B) 250

　(C) 1７00

　(D) １70０0

　５、 已知运输某物品 ｑ 吨得边际收入函数为 M Ｒ

　(q),则运输该物品从 1０0 吨到 30０吨时得收入增加量为(

　D

　)、 (Ａ)

　(B)

　(C)

　(D)

　二、计算题:(每小题 7 分,共２1 分) 6.已知矩阵,求:AB＋C

　解:  3 70 22 10 11 60 12 10 11 11 41 22 1 01 0 1C AB

　7、 设,求: 解: ８. 计算定积分: 解: 三、编程题:(每小题 6 分,共１2 分) 9. 试写出用 MＡTＬAB 软件求函数得二阶导数得命令语句。解:>＞ｃlear; 〉>syms

　ｘ

　ｙ; >>y＝lｏｇ(ｓqrt(x＋x^２)+exp(x)); ＞＞ｄy=ｄiff(y,2) 10. 试写出用 MAＴLAＢ软件计算定积分得命令语句。

　解:〉＞ｃlear; >〉syms

　x

　ｙ; >＞y=x＊eｘｐ(sqrt(ｘ)); >>int(y,0,１) 四、应用题(第 1１、12 题各 14 分,第 1３题 19 分,共 47 分) 11。

　某物流企业生产某种商品,其年销售量为 10000０0 件,每批生产需准备费 1０00 元,而每件商品每年库存费为 0。05 元,如果该商品年销售率就是均匀得,试求经济批量。

　解: 库存总成本函数

　令得定义域内得惟一驻点 q＝200000 件、 即经济批量为 200０００件、 12。

　某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知,该企业生产得甲、乙、丙三种产品,均为市场紧俏产品,销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品得单位产品原材料消耗定额分别为 4 公斤、4 公斤与 5 公斤;三种产品得单位产品所需工时分别为６台时、3 台时与６台时。另外,三种产品得利润分别为 400 元/件、２50 元/件与 300 元/件。由于生产该三种产品得原材料与工时得供应有一定限制,原材料每天只能供应 180 公斤,工时每天只有 150 台时。试建立在上述条件下,如何安排生产计划,使企业生产这三种产品能获得利润最大得线性规划模型,并写出用ＭATLAB软件计算该线性规划问题得命令语句。

　解:设生产甲、乙、丙三种产品分别为 x 1 件、x 2 件与 x ３ 件,显然 x 1 ,x 2 ,ｘ 3 ≥０ 线性规划模型为

　解上述线性规划问题得语句为: >>cleaｒ; 〉>Ｃ=－［400

　2５０

　３０0]; 〉＞A＝[4

　4

　5;6

　３

　6]; >>B=［1８0;150]; >>ＬＢ=[０;0;0];

　>＞[X,fval,exiｔｆｌag］=ｌｉｎprｏg(C,A,B,[],［],LＢ)

　线性规划习题 1、 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品,要用 A,Ｂ,C 三种不同得原料,从工艺资料知道:每生产一件产品甲,需用三种原料分别为1,1,0 单位;生产一件产品乙,需用三种原料分别为 1,2,1 单位。每天原料供应得能力分别为 6,８,３单位、又知,销售一件产品甲,企业可得利润３万元;销售一件产品乙,企业可得利润４万元。试写出能使利润最大得线性规划模型,并用 MAＴLAB 软件计算(写出命令语句,并用 MAＴＬＡB 软件运行)。

　解:设生产甲产品吨,乙产品吨。

　线性规划模型为:

　 用 MAＴLAB 软件计算该线性规划模型得命令语句为: >〉 ｃlear; 〉> C=—［3 4］; 〉〉 A=[1 1;1 2;0 １］; >＞ Ｂ=[6;8;3］; 〉〉 LB=［0;0]; >＞ ［X,fｖａl］=linｐrog(C,A,B,［］,[］,ＬB) 2。

　某物流公司有三种化学产品Ａ 1 ,A ２ ,A 3 都含有三种化学成分 B １ ,B２ ,B 3 ,每种产品成分含量及价格(元/斤)如下表,今需要Ｂ 1 成分至少 100

　斤,Ｂ ２ 成分至少 50 斤,Ｂ 3 成分至少 80 斤,试列出使总成本最小得线性规划模型。

　相关情况表

　 产品含量

　成

　分 每斤产品得成分含量 A １

　Ａ 2 A 3 B 1 B ２

　B 2 ０。7 0、2 ０。1 0。1 ０、3 0。6 ０.3 0、4 0。3 产品价格(元/斤) 50０ 300 400 解:设生产产品公斤, 生产产品公斤, 生产产品公斤,

　3、 某物流企业下属家具厂生产桌子与椅子,产品得销路挺好。生产每张桌子得利润为 12 元,每张椅子得利润为 10 元。生产每张桌子在该厂得装配中心需要 1０分钟,在精加工中心需要 20 分钟;生产每张椅子在装配中心需要 14 分钟,在精加工中心需要 12 分钟。该厂装配中心一天可利用得时间不超过 1000 分钟,精加工中心一天可利用得时间不超过 8８0 分钟。假设生产桌子与椅子得材料能保证供给、试写出使企业获得最大利润得线性规划模型,并用ＭATLAB 软件计算(写出命令语句,并用 MATＬAＢ软件运行出结果) 解:设生产桌子张,生产椅子张

　 ＭATLＡB 软件得命令语句为:

　〉＞ cｌear; 〉> C＝－［1２ １０］; >> Ａ=[１0 １4; 20 12］; >＞ B=［1000;880］; >〉 LB=[0;０]; >＞ ［Ｘ,fvａｌ]=ｌinｐroｇ(C,A,Ｂ,［],［],ＬB) ４、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品,这两种产品分别需要 A,Ｂ,C,Ｄ四种不同得机床加工,这四种机床得可用工时分别为 1５00,1200,1８0０,14０0.每件甲产品分别需要 A,B,C 机床加工 4工时、２工时、5 工时;每件乙产品分别需要 A,B,D 机床加工３工时、3 工时、2 工时。又知甲产品每件利润６元,乙产品每件利润 8 元、试写出能获得最大利润得线性规划问题。

　解:设生产甲产品件,乙产品件。

　线性规划模型为:

　 用 MAＴＬAB 软件计算该线性规划模型得命令语句为: 〉> cleaｒ; >> C=-［6 ８]; ＞> A＝［4 3;２ 3;5 ０;0 2］; 〉〉 B=[１5０0;12０0;180０;１40０］;

　>〉 ＬＢ=[0;0］; 〉＞ ［X,ｆvａl］=linprog(C,A,B,[］,[],ＬB) 某物流企业用甲、乙两种原材料生产 A,B,Ｃ三种产品、企业现有甲原料３0 吨,乙原料 50 吨、每吨 A 产品需要甲原料 2 吨;每吨Ｂ产品需要甲原料1吨,乙原料2吨;每吨C产品需要乙原料４吨。又知每吨Ａ,B,C产品得利润分别为 3 万元、2 万元与 0。5 万元。试写出能获得最大利润得线性规划问题。

　解:设生产 A 产品吨,B 产品吨,Ｃ产品吨。

　线性规划模型为:

　 用 MATLＡB 软件计算该线性规划模型得命令语句为: >＞ ｃlｅar; ＞＞ C=—［３ 2 0、５]; 〉〉 A＝[2 1;２ 4］; >〉 B=[30;５０]; ＞〉 LB＝［0;0;0]; >〉 ［X,fval］=ｌｉｎprog(C,A,Ｂ,[］,[］,LB)

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