浅论数学建模与数学实验的融合

【摘要】本文结合当前高校开设数学建模和数学实验课程的现实，从发展历史、现状以及教材建设等方面，分析它们的区别与联系，结合各自的特点，找到它们各自的优势和不足，提出了将两门课进行融合的想法并给出了理由和建议。

【关键词】数学建模  数学实验  学以致用  发现问题  解决问题

【基金项目】河南大学第15批教改重点项目：数学建模与数学实验两课程协同培养学生创新能力的研究与实践;安徽省高校优秀青年人才支持项目gxyq2017105。

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）41-0138-02

1.前言

数学建模课程进入我国的大学是在上世纪80年代，此时数学建模课程以及数学建模的思想已经在发达国家趋于普遍。我国对于该课程的设置大致是属于引进式的课程革新。随之而来的全国大学数学建模竞赛给数学建模课在全国高校的蔓延带来了强大的助推力。2000年前后，数学实验课开始兴起了，全国很多高校的数学系开始开设数学实验课，如今的大学数学课程体系中，大部分都有《数学建模》和《数学实验》这两门课。它们的内容乍一看比较接近，再加上近年来有不少学校在进行两门课的合并，所以很多人会认为它们是重复的存在。本文主旨就在于讲清楚数学建模和数学实验的区别与联系。

2.综述数学建模

2.1 数学建模课程的形成历史

要想說清楚数学建模这门课，必须先从数学模型说起。人类社会发展到今天，无论是工业生产，还是经济运行，甚至日常生活，都可以靠数学来揭示其中的规律。数学在上述各个领域中的呈现形式不再是一种纯粹的数学形式，而是应用数学语言对各类事物的本质规律进行的表述，即数学模型。

随着科学研究领域的飞速发展，数学在各个领域中展现出越来越重要的作用，人们发现将现实问题数学化的意识和能力对于一个科研工作者来说是至关重要的，尤其是对于年轻人。于是在上世纪五六十年代，欧美国家的大学开始开设数学建模这门课程。八十年代，我国的高校开始陆续在各自的数学系开设数学建模课，逐渐发展成为许多学校的数学、应用数学、计算数学等数学类专业将它列为必修课或专业限选课，而且一些工科、经济管理、师范等院校也将它列为选修课。紧随而来的全国大学数学建模竞赛对数学建模课的继续发展也起到了巨大的推动作用[1]。

随着大学师生对数学建模的越来越多的重视，关于数学建模的教学研讨也雨后春笋般的多了起来。配合全国大学生数学建模竞赛的指导工作，数学建模的师资队伍也在不断的壮大。各类教材和参考书层出不穷，虽然良莠不齐，但是生机勃勃的局面对于数学建模的发展也是大有益处。经过近二三十年的发展，现在数学建模课程设置以及相关配套已经基本上趋于成熟和完善。

2.2 现阶段对于数学建模的认识

在应试教育的驱动下，学生学什么怎么学都是在老师的引导下被动进行，思维主动性的缺失导致一直到考大学，学生们对于为什么要考大学，到大学里学什么专业这些重要的问题都没有深入的思考，至少是没有独立的思考。于是学以致用的“用”就成了一直被忽视的问题，一方面所学应该“用”在什么地方，反之就是为了这个“用”，大学应该选择学什么。这个问题是学生个人应该根据自己的知识和兴趣来自己解决的问题。

数学建模恰恰就是在研究怎么用数学。做好建模需要学生有“用数学”的能力，也就是需要从实际需要出发来思考数学知识对解决现实问题的参与。学生们对于“用”的理解和能力上的长期的缺失导致了对于数学建模这门课的重要意义认识不够，学习数学建模的动机不是加速知识向现实生产生活的转化，而更多是为了参加数学建模竞赛并获奖，这是在动机上的偏差，这个偏差是本质上的，甚至连一些教师也有同样的认识问题。

2.3 数学建模的教材分析

目前在用的数学建模教材有不少，其中用的较为普遍是高等教育出版社的国家“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材《数学模型》，目前已经更新至第四版。自第一版到第四版，在内容结构的安排上，都是以建模所使用的数学方法作为划分章节的依据。这样结构清晰，逻辑合理，教师教学和学生学习都很合适。自第三版开始加入了Matlab的实验内容，将计算机的工具引入的建模教材，丰富了建模过程中关于模型求解的部分。有些教师对于这本教材的内容设置提了一些建议，其中一种说法是，这本书对于建模过程中更加务实的搞清机理、搜集数据以及模型检验与修改等环节讲述较少，重点呈现的是建模的“成品”。这种说法不无道理，但是应该考虑它作为一本教材的实际情况，它的目的是教会学生怎么建模，可具体建模过程的操作又因实际问题而各不相同，很难整理出关于具体实施方法的系统表述，而目前教材通过精心选取经典案例和优秀的解决方案作为主要内容是合适的。这就对教师的教学方法提出了更高的要求，如何通过组织学生讨论和模拟建模来切实提高他们的建模能力，以达到课程的培养目标。

3.数学实验课程综述

3.1 数学实验这门课的形成

数学实验的提法是伴随着计算机技术和数学软件的发展应运而生的。在传统的数学教学与科研中，数学只需要有纸和笔就可以了，在纸上呈现出复杂的数学推导和计算过程。对于那些计算思路成熟、步骤清晰、逻辑困难已经被攻克但是却极端复杂的数学问题，人们开始考虑让日益兴起的计算机来帮忙解决。人们认为只要将正确计算的步骤转化为计算机程序语言，让它代替人们去做复杂的计算工作，就能够高效且准确的得到人们想要的结果。随着计算机的强大计算能力越来越广泛的展现出来，人们开始更加重视计算数学这个方向。围绕着设计计算机能够高效率高精度的处理人们所遇到的大量的数学问题进行研究，逐渐出现了很多成熟的算法以处理日常所能遇到的大量的数学问题。

在上述背景之下，上世纪90年代，北京大学、清华大学等高等院校的一些教授提出了开设数学实验课的构想，立即在教育界引起反响，在教育部立项的面向21世纪高校非数学专业数学教学体系和内容改革的总体构想中，把“数学实验”列为数学基础课之一。1998年清华大学、北京大学、北京师范大学共同组织了一个课题组，在萧树铁教授的指导下，三校各抽一个班，开出了两期数学实验课，并在此基础上逐渐形成了数学实验教材[2]。2000年之后，全国各大高校开始纷纷开设这门课，并在长期的教学实践中逐渐丰富和完善着这门课的教学内容和教学方法。

之所以叫数学实验，或许是因为把数学交给计算机这样的外部设备，得到计算结果的过程，很像物理化学那样在实验室里做实验的过程。应当强调的是，数学实验所处理的问题并非纯数学问题，而是现实问题，也正因为此，称之为数学实验才更为贴切。实验目的是解决现实问题，实验材料需要从现实搜集，实验工具是计算机和计算软件，实验结果是现实问题的答案。面对一个现实问题，数学实验的首要任务应该是关于实验步骤的设计，其实质是将现实问题转化为数学问题，以及设计数学问题的数值算法，由此看到，数学实验和数学建模有密不可分的关系。

3.2 现阶段对数学实验的认识

由于数学建模课的存在，数学实验教材中的关于建模部分的重要性显得不那么突出了。如今一种习惯的看法认为数学实验主要就是学一种计算软件，通过计算机完成那些困难的繁琐的数学计算。

事实上这种认识是片面的。因为如果这样，我们只需要学好《计算方法》并掌握一种编程语言就好了，数学实验这门课就没有存在的意义了。翻看一下《数学实验》教材的前言就会发现，开始这门课的初衷还是要提高学生用数学的能力。从开设《数学实验》这门课的出发点来看，它和《数学模型》有着大致相同的目标，从形式和侧重点来看，又更偏重于为数学建模准备具体的方法和工具。

3.3 数学实验的教材分析以及其之于数学建模

目前国内的《数学实验》教材也很丰富，并且大同小异。在实践当中，它们也都大多是充当一门计算语言的辅助教材甚至最终作为工具书。这是因为《数学模型》课的开展早于《数学实验》，因此开设后者的高校必定已经存在了《数学模型》，这样抛开两者中的重叠部分[3]，《数学实验》也就自然的落到了这样一个尴尬的境地。

4.结合数学建模竞赛来谈数学建模与数学实验

对于与数学建模和数学实验这两门课密不可分的数学建模竞赛，我们有必要着重谈一谈。目前建模竞赛影响力最大的有两个，一个是全国大学生数学建模竞赛，一个美国大学生数学建模竞赛。

美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM），它分为数学建模竞赛（MCM）和交叉学科建模竞赛（ICM），它们分别创始于1985年和2000年，是由美国数学及其应用联合会主办，目前全球唯一的国际性数学建模竞赛，也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛。赛题内容涉及经济、管理、环境、资源、生态、医学、安全、未来科技等众多领域。截至2015年，共有来自美国、中国、加拿大、芬兰、英国、澳大利亚等19个国家和地区共9773支队伍参赛，其中不乏来自哈佛大学、普林斯顿大学、麻省理工学院、清华大学、北京大学、浙江大学等国际或国内知名的高校派出的参赛队。

我国的全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，形式类似于美国大学生数学建模竞赛，分为专科组和本科组（后来有了专门的研究生数学建模竞赛）。试题也是涉及众多领域，具有很强的应用性和时效性。每年一届，经常涉及到当年的重大社会事件或重大科学发现。学生在三天的时间内完成模型建立、求解、验证及论文撰写，比美赛的时间还少一天，对学生的挑战更大。

目前该项赛事已经成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛。仅2016年，来自全国33个省市自治区（包括香港和澳门）以及新加坡的1367所院校、31199个队近93000名大学生报名参加此项竞赛。

参加数学建模竞赛对参赛选手是一个很大的考验。要想在竞赛中取得佳绩，参赛队的成员必须具备以下能力：第一个就是建立模型的能力，也就是能够将现实问题“数学化”的能力，这正是数学建模这门课设立的初衷。第二个就求解模型的能力，这个部分将极大的借助于计算机，这正是数学实验的主要功能。最后还要有良好的团队合作能力以及论文撰写能力。因此我们可以说数学建模竞赛是检验学生对于数学建模和数学实验两门课学得好不好的试金石。

5.正确认识和处理数学建模与数学实验的关系

正如前文所说，数学建模与数学实验两个概念与前后独立产生的两门课，《数学模型》与《数学实验》密切相关。两门课的课程设置各有各的出发点和教学目的，在内容和培养目标上确实存在重合的部分，但又各有各的侧重点。前者注重建模思想的形成和建模意识的培养，后者侧重建模的实际操作能力。两者的共同的培养目的体现在“用数学”的“用”上，通过两门课的学习，可以提高学生发现问题和解决问题的能力。发现问题是为数学找到用武之地，解决的问题是将数学转化为实际。可见两门课相辅相成，缺一不可。

自从两门课产生发展至今，各自都经历的作为一门新兴学科从不太完善到逐渐趋于成熟的过程。就各自目前的发展来看，都是正常的。近年来有不少学校的数学系在课程安排上把两门课先后排在一起上，也有的直接把它们合并成一门课叫作数学建模与实验。

我们认为两门课的合并应该是有必要的，但一定不是简单地加法。有很多相应的问题需要考虑。

首先是课时的分配问题。把两门课原有课时量简单相加肯定是不合适的，一方面是因为两个课原本就有重复，另一方面会造成课时太多，给师生带来一定的负担。因此需要在综合考虑两门课的有机融合的前提下，给出一个合理的课时量。

其次是教学环境和设备的调配问题。两门课对上课的条件都有特殊的要求，数学建模课需要设计讨论环节，普通的教室往往不方便讨论;数学实验课最好是安排在机房，这样方便讲解和演示，也方便学生们随时上手编程实践。如果有条件建设一个在功能上能够同时满足上述要求的实验室当然是最好，如果条件有限而不得不在不同的教室上课，那么前述的课时分配问题就再次凸显出来。

第三是教材的融合问题。如果两门课合并成一门，显然就急需一本涵盖原来两门课的教学内容的教材。新教材的形成是一个严谨而复杂的过程，需要团队合作。经过教研讨论形成初稿，再通过一两个学期的适用来逐渐修改和完善。

最重要的还是师资的配备，由于两门课各有侧重，原本上两门课往往不是同一位教师。然而从学生角度来看，合并后的一门课由两个老师分别穿插授课显然是不太合适的。所以需要原来的授课老师充实自己的知识储备，尽快适应新加内容的教学，并且尽快对新旧两部分内容进行融合，使之成为一体，才能使内容在讲授的过程中没有割裂感，这对教师是一个新的挑战。

通过以上的论述，我们认为数学建模和数学实验应该很好地融合在一起，这样不仅可以避免重复，提高教學效率，而且在培养学生学习的主动性，贯彻学以致用的主旨，锻炼发现和解决问题能力等方面，将起到更加促进的作用。

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M].高等教育出版社，2011.

[2]萧树铁.数学实验（第二版）[M].高等教育出版社，2006

[3]谭永基.对数学建模和数学实验课程的几点看法[J].大学数学，2010.

作者简介：

高志锋（1977.10-），男，河南郑州人，硕士，讲师，研究方向为偏微分方程与数学物理。

张静（1982.01-），女，河南三门峡人，硕士，讲师，研究方向为偏微分方程。

张永（1980.09-），男，河南新乡人，博士，副教授，研究方向微分方程和数学模型。

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