数学课堂教学中常用的解题策略
美国数学家哈尔莫斯认为:问题是数学的心脏。波利亚也有一句名言:“掌握数学就意味着善于解题.”他强调指出:“中学数学教学首要任务就是加强解题训练.”在掌握数学方法基础上进行解题训练,形成解题技能,将解题技能、方法,乃至于经验在理性层面上进行概括,便形成解题策略。解题策略一旦形成,就可对新情境下的数学问题的解题途径作出总体性的、方向性的决策,从而有利于解题顺利进行。
一、问题的构建
数学的真正部分是问题和问题的解决,数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力。在课堂教学中如何营造问题氛围,引导学生进入教学活动,一起参与对问题的分析、探究解题方法及其本质等。直接关系到学生是否能充分发挥自己的创新思维能力和方式.
什么是“好问题”?“好问题”应具有张奠宙教授在《数学素质教育设计(草案)》中所提出的五个标准:
①对学生来说不是常规的,不能靠简单的模仿来解决;
②可以是一种情景,其中隐含的数学问题要靠学生自己去提出、求解并作出解释;
③具有趣味和魅力,能引起学生的思考和向学生提出智力挑战;
④不一定有终极答案,各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答;
⑤解决它往往需伴以个人或小组的数学活动.
但好问题不一定就是一个相当复杂的问题,它甚至可以是一个很简单的、生活实践中十分常见和答案显而易见的问题,只要它透露着必要的数学思想和有一定的启发.
二、常见的策略简述
(一)定义法
概念与其定义是对研究对象本质属性的描述和界定,因而是数学推理论证的逻辑基础,对于某些数学问题,如果从所涉及的数学概念的原始定义去考虑,往往能获得题设信息所固有的本质属性,减少不必要的中间环节,达到准确判断、合理运用、灵活解题的目的,在中学教材及高考试题中有着广泛的应用.
例1 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.
分析 因为函数解析式中含有绝对值,利用绝对值的定义去掉绝对值符号,可将问题转化为熟悉的二次函数在给定区间上求最小值的问题.
解:(1)x≥a时,f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+
若a≤-,则f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(-)=-a;若a>-,则f(x)在[a,+∞)上单调递增,f(x)的最小值为f(a)=a2+1.
(2)x≤时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2++a
若a≤,则f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1;若a>,则f(x)在(-∞,a]上的最小值为f()=+a.
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